2025届高考数学二轮复习微专题21　应用导数求解函数问题.docxVIP

《全品高考第二轮专题》

微专题21应用导数求解函数问题

1.(1)公切线问题也是导数的几何意义的常见应用问题,此类问题的难点在于切点不确定、斜率不确定.对于公切线问题的求解,突破口在于对两个函数分别设图象的切点、求导数、写切线方程,然后根据方程组消元后求解.(2)公切线还可被用来解决函数图象问题,当一个函数图象始终在另一个函数图象上方时,可将其中一个函数图象进行平移,使二者相切,找到公切线(临界状态),进而求解.

2.应用导数求解函数问题的过程中,方法是多样化的,可以应用数形结合的方法、二次求导或结合一些常见的结论等,在学习过程中要注重积累.

1[2024·辽宁名校联盟模拟]若至少存在一条直线与f(x)=2x2+3和g(x)=3-tlnx(t≠0)的图象均相切,则t的取值范围是 (D)

A.[-4e,0)

B.[2e,+∞)

C.(-4e,0)∪(0,+∞)

D.[-4e,0)∪(0,+∞)

[解析]f(x)=4x,g(x)=-tx,设公切线与曲线y=f(x)相切于点(x1,2x12+3),与曲线y=g(x)相切于点(x2,3-tlnx2)(x20),则切线方程分别为y=4x1x-2x12+3,y=-tx2x+t+3-tlnx2,所以4x1=-tx2①,-2x12+3=t+3-tlnx2②,由①得x12=t216x22,代入②得t=8x22lnx2-8x22.令h(x)=8x2lnx-8x2(x0),则h(x)=8x(2lnx-1),所以当0xe时,h(x)0,当xe时,h(x)0,所以h(x)在区间(0,e)内单调递减,

2[2024·广州普通高中模拟]已知直线y=kx+b恒在曲线y=ln(x+2)的上方,则bk的取值范围是 (A)

A.(1,+∞) B.3

C.(0,+∞) D.45,

[解析]设直线y=kx+t与曲线y=ln(x+2)相切且切点坐标为(x0,ln(x0+2)),由y=ln(x+2)得y=1x+2,所以切线方程为y=1x0+2x+ln(x0+2)-x0x0+2,所以k=1x0+20,t=ln(x0+2)-x0x0+2,所以bktk=(x0+2)ln(x0+2)-(x0+2)+2.设g(x)=xlnx-x+2,则g(x)=lnx,当0x1时,g(x)0,当x1时,g(x)0,即g(x)在(0,1)上单调递减,

3[2022·全国乙卷]已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax-ex2(a0且a≠1)的极小值点和极大值点.若x1x2,则a的取值范围是?1e,1

[解析]方法一:【最优解】将函数零点问题转化为函数图象的交点问题.因为f(x)=2lna·ax-2ex,所以关于x的方程2lna·ax-2ex=0有两个根x1,x2,即方程lna·ax=ex有两个根x1,x2,即函数y=lna·ax与函数y=ex的图象有两个不同的交点,因为x1,x2分别是函数f(x)=2ax-ex2的极小值点和极大值点,所以函数f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增,所以当x∈(-∞,x1)∪(x2,+∞),f(x)0,即y=ex的图象在y=lna·ax图象的上方,当x∈(x1,x2)时,f(x)0,即y=ex的图象在y=lna·ax图象的下方.当a1时,显然不符合题意,所以0a1.令g(x)=lna·ax,0a1,则g(x)=(lna)2·ax,设过原点且与函数g(x)的图象相切的直线l的切点为(x0,lna·ax0),则切线l的斜率为g(x0)=(lna)2·ax0,故切线l的方程为y-lna·ax0=(lna)2·ax0(x-x0),则有-lna·ax0=-x0(lna)2·ax0,解得x0=1lna,则切线l的斜率为(lna)2·a1lna=e(lna)2.因为函数y=lna·ax与函数y=ex的图象有两个不同的交点,所以e(lna)2e,解得1e

方法二:【通性通法】构造新函数,二次求导.f(x)=2lna·ax-2ex=0的两个根为x1,x2,因为x1,x2分别是函数f(x)=2ax-ex2的极小值点和极大值点,所以函数f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增.设函数g(x)=2(axlna-ex),则g(x)=2ax(lna)2-2e.若a1,则g(x)在R上单调递增,当g(x)的图象与x轴无交点时,显然不符合题意;当g(x)的图象与x轴有交点时,设g(m)=0,则f(x)在(-∞,m)上单调递减,在(m,+∞)上单调递增,因为x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax-ex2(a0且a≠1)的极小值点和极大值点,所以此时x1x2,不符