2024_2025学年新教材高中数学第五章三角函数1.2蝗制学案新人教A版必修第一册.docVIP

PAGE

PAGE8

弧度制

新课程标准解读

核心素养

1.理解1弧度的角的定义，了解弧度制的概念，能进行角度与弧度之间的互化

数学抽象、数学运算

2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数的一一对应关系

数学抽象

3.理解弧度制下弧长与扇形面积公式并能应用

数学运算

公元6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念．欧拉是明确提出弧度制思想的数学家.1748年，在他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中，提出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周角等于2π弧度，1弧度等于周角的eq\f(1,2π).这一思想将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公式及计算．

[问题]依据上述定义30°是多少弧度？

学问点一度量角的两种制度

角

度

制

定义

用度作为单位来度量角的单位制

1度

的角

1度的角等于周角的eq\f(1,360)，记作1°

弧

度

制

定义

以弧度为单位来度量角的单位制

1弧度

的角

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1rad(rad可省略不写)

eq\a\vs4\al()

1．用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“rad”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可．

2．不管是以弧度还是以度为单位度量角的大小，都是一个与半径大小无关的定值．

学问点二角度制与弧度制的换算

1．弧度数的计算

2．弧度与角度的换算

1．一个角的度数是否对应一个弧度数？

提示：是．一个给定的角，其度数和弧度数都是唯一确定的．

2．在大小不同的圆中，长度为1的弧所对的圆心角相等吗？

提示：不相等．这是因为长度为1的弧是指弧的长度为1，在大小不同的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同．

1．推断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．()

(2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．()

(3)1°的角是周角的eq\f(1,360)，1rad的角是周角的eq\f(1,2π).()

(4)1rad的角比1°的角要大．()

答案：(1)√(2)×(3)√(4)√

2．(多选)下列转化结果正确的是()

A．60°化成弧度是eq\f(π,3)

B．－eq\f(10,3)π化成度是－600°

C．－150°化成弧度是－eq\f(7,6)π

D.eq\f(π,12)化成度是15°

答案：ABD

学问点三扇形的弧长和面积公式

设扇形的半径为R，弧长为l，α(0α2π)为其圆心角，则

(1)弧长公式：l＝αR；

(2)扇形面积公式：S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)αR2．

eq\a\vs4\al()

在应用弧长公式、扇形面积公式时，要留意α的单位是“弧度”，而不是“度”，若已知角是以“度”为单位的，则应先化成“弧度”，再代入计算．

1．推断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)扇形的半径为1cm，圆心角为30°，则扇形的弧长l＝r|α|＝1×30＝30(cm)．()

(2)圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，弧长所对的扇形的面积不变．()

答案：(1)×(2)×

2．已知扇形的半径r＝30，圆心角α＝eq\f(π,6)，则该扇形的弧长等于________，面积等于________．

答案：5π75π

角度与弧度的换算

[例1](链接教科书第173页例4)将下列角度与弧度进行互化：

(1)eq\f(511,6)π；(2)－eq\f(7π,12)；(3)10°；(4)－855°.

[解](1)eq\f(511,6)π＝eq\f(511,6)×180°＝15330°.

(2)－eq\f(7π,12)＝－eq\f(7,12)×180°＝－105°.

(3)10°＝10×eq\f(π,180)＝eq\f(π,18).

(4)－855°＝－855×eq\f(π,180)＝－eq\f(19π,4).

eq\a\vs4\al()

角度制与弧度制的互化原则和方法

(1)原则：牢记180°＝πrad，充分利用1°＝eq\f(π,180)rad和1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°进行换算；

(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n°，则αrad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\a