精品解析：重庆市第一中学校2024-2025学年高一下学期第一次月考（3月）数学试题（原卷版）.docx

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重庆一中高2027届高一下第一次月考考试

数学试题卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上.

2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.

3.考试结束后，将答题卡交回.

一、单项选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知向量，若，则实数（）

A B. C. D.

2.下列是函数的对称中心的是（）

A. B. C. D.

3.已知，是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（）

A. B. C. D.

4.在中，，，若满足上述条件的恰有一解，则边长的取值范围是（）

A. B. C. D.

5.在艺术、建筑设计中，把短对角线与长对角线的长度之比为的菱形称为“白银菱形”.如图，在白银菱形ABCD中，若，则（）

A. B. C. D.

6.在中，角的对边分别为，，，则（）

A. B. C. D.

7.已知点O是ABC的内心，若，则cos∠BAC=（）

A. B. C. D.

8.已知四边形ABCD满足，且其外接圆半径为，四边形ABCD的周长记为L，若的面积，则当L取最大值时，四边形ABCD的面积为（）

A.10 B.15 C. D.

二、多项选择题.本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知复数z满足：，则（）

A. B.的虚部是3

C. D.复数z在复平面内对应的点位于第四象限

10.已知函数，则下列结论中正确的是（）

A.若ω=2，则将图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称

B.若，且的最小值为，则ω=2

C.若在[0，]上单调递增，则ω的取值范围为（0，3]

D.若在[0，π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是

11.已知平面向量满足则下列说法正确的是（）

A.的最小值为

B.若则的最大值为

C.若向量满足则的最大值是

D.若向量满足，则的最小值是2

三、填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知是关于的方程的一个根，则______．

13.已知向量与共线，则_________.

14.已知函数，则关于的方程：的实根个数为__________.

四、解答题.本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.

15.已知偶函数，，且函数最小正周期为.

（1）求与值；

（2）若，求的对称轴和对称中心.

16.已知如图在边长为8的正三角形ABC中，D为BC的中点，E为BD的中点.

（1）若点P为的重心，且有，求m和n的值；

（2）若点Q在以点E为圆心，半径为1的圆上运动，且有，求的取值范围.

17.已知几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在中，内角的对边分别为，现以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，，且.

（1）求；

（2）若，的面积为，求的周长.

18.锐角面积为，角的对边分别为，且.

（1）求证：；

（2）若，求值；

（3）求的最小值.

19.17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证明：在中，若三个内角均小于，当点满足时，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被称为的费马点.请根据费马点性质解决下列问题：

（1）已知在中，，，若点为的费马点，求的面积；

（2）已知在中，，，若点为平面上任意一点，求的最小值；

（3）已知在中，，，，点在线段上，且满足，若点为的费马点，求的值.