2025年高考数学高考数学二轮热点题型选填题(新高考通用)专题07坐标法、极化恒等式在平面向量中的应用(3大题型)(原卷版+解析).docxVIP

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专题07坐标法、极化恒等式在平面向量中的应用

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TOC\o1-1\h\u题型01坐标法 1

题型02极化恒等式 2

题型03平面向量中的最值（范围）问题 4

题型01坐标法

【解题规律·提分快招】

1、建系的常见技巧

（1）前言

坐标运算能将问题从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标。对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的。

（2）技巧

①涉及到含有垂直的图形，如长方形、正方形、直角三角形、等边三角形、直角梯形、菱形的对角线等等；

②虽然没有垂直，但有特殊角，如30°、45°、60°、120°、135°等等。

【典例训练】

一、单选题

1．（23-24高三下·四川攀枝花·阶段练习）已知A，B，C是单位圆上不同的三点，，则的最小值为（???）

A．0 B． C． D．

2．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，边长为的等边，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

3．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）四边形是边长为4的正方形，点是正方形内的一点，且满足，则的最大值是（???）

A． B． C． D．

二、填空题

4．（2024高三·全国·专题练习）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，则；为线段上的动点，为中点，则的最小值为．

5．（24-25高三上·青海西宁·期中）已知向量，，满足，，，.若恒成立，则的最大值为.

6．（24-25高三上·湖南·阶段练习）设为单位向量，向量满足，则当与的夹角最大时，．

7．（24-25高三上·天津河东·期末）在等腰梯形中，，是腰的中点，则的值为；若是腰上的动点，则的最小值为．

题型02极化恒等式

【解题规律·提分快招】

1、极化恒等式

设a，b是平面内的两个向量，则有

证明：，①，②

将两式相减可得，这个等式在数学上我们称为极化恒等式．

①几何解释1（平行四边形模型）以，为一组邻边构造平行四边形，，则，由，得．

即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”．

②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由变形为，得，

该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型．

注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．

【典例训练】

一、单选题

1．（23-24高三下·山东日照·期末）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形；在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC（含端点）上的一点，则的范围为（???）

A． B． C． D．

2．（2024高三·全国·专题练习）已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（????）

A．5 B．6 C．7 D．8

3．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知在中，是边上一定点，满足，且对于边上任意一点，都有，则是（???）

A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定

二、填空题

4．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知棱长为2的正方体，点P是其表面上的动点，该正方体内切球的一条直径是MN，则的取值范围是．

5．（2024·河南·模拟预测）如图，已知，是圆O的两条直径，E是的中点，F是的中点，若，则.

题型03平面向量中的最值（范围）问题

【解题规律·提分快招】

平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等，解题思路通常有两种：

一是“形化”，即利用平面向量的几何意义，先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；

二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程的有解等问题，然后利用函数、不等式、方程有关知识来解决．

【典例训练】

一、单选题

1．（2024·天津河北·二模）是等腰直角三角形