第77讲 定点、定值问题（解析版）-2025年高考数学必刷题5000题.pdf

77第讲定点、定值问题

1、定值问题知识梳理

解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量

-函数-定值”，具体操作程序如下：

(1)变量-选择适当的量为变量．

(2)函数-把要证明为定值的量表示成变量的函数．

(3)定值-化简得到的函数解析式，消去变量得到定值．

2、求定值问题常见的方法有两种：

(1)从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；

(2)直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值．

常用消参方法：

①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系F(k,m)=0，用一个参数表示另外一个

参数k=f(m)，即可带用其他式子，消去参数k．

②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值．

③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉．

④参数无关消参：当与参数相关的因式为0时，此时与参数的取值没什么关系，比如：

用．y-2+kg(x)=0，只要因式g(x)=0，就和参数k没什么关系了，或者说参数k不起作

3、求解直线过定点问题常用方法如下：

(1)“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证

明；

(2)“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲

线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标

的点即为所求点；

(3)求证直线过定点x,y，常利用直线的点斜式方程y-y=kx-x或截距式y=kx+

b来证明．0000

一般解题步骤：

①斜截式设直线方程：y=kx+m，此时引入了两个参数，需要消掉一个．

②找关系：找到k和m的关系：m=f(k)，等式带入消参，消掉m．

③参数无关找定点：找到和k没有关系的点．

必考题型全归纳

1题型一：面积定值

22

4297(2024·安徽安庆·安庆一中校考三模)已知椭圆C:x+y=1(ab0)过点A-a,0,

22

ab

3

B0,-b两点，椭圆的离心率为，O为坐标原点，且S=1.

△OAB

2

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(1)求椭圆C的方程；

(2)设P为椭圆C上第一象限内任意一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于

点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.

c3

【解析】(1)根据题意可知e==，

a2

1222

又S=ab=1，即可得ab=2，结合a=b+c，

△OAB2

222

解得a=4,b