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湖南省长沙市望城区第一中学2024-2025学年高一下学期3月阶段测试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知为虚数单位，复数满足，则（????）

A． B． C．3 D．

2．设，，则（????）．

A． B．

C． D．、的大小无法确定

3．在下列条件中：①；②；③且；④，，中能成为“使二次方程的两根为正数”的必要非充分条件是（????）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

4．已知点，，，，与同向的单位向量为，则向量在向量方向上的投影向量为（????）

A． B． C． D．

5．2000年我国国内生产总值(GDP)为89442亿元，如果我国GDP年均增长7.8%，那么按照这个增长速度，在2000年的基础上，我国GDP要实现比2000年翻两番的目标，需要经过（????）（参考数据：lg2≈0.3010，lg1.078≈0.0326，结果保留整数)

A．17年 B．18年 C．19年 D．20年

6．已知O为内一点，若分别满足①；②；③；④（其中a，b，c为中，角A，B，C所对的边）．则O依次是的（???）

A．内心、重心、垂心、外心 B．外心、垂心、重心、内心

C．外心、内心、重心、垂心 D．内心、垂心、外心、重心

7．已知是偶函数，任意，且，满足，，则的解集是（????）

A． B．

C． D．

8．已知动点，，O为坐标原点，则当时，下列说法正确的是（????）

A．有最小值1 B．有最小值，且最小值小于1

C．恒成立 D．存在，使得

二、多选题

9．已知复数，是关于z的方程的两个复数根，且，，则（????）

A．与互为共轭复数 B．

C． D．

10．已知向量，，则下列说法正确的是（????）

A．若，则 B．若∥，则

C．若，则 D．若，则向量，的夹角为钝角

11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题是真命题的是（????）

A．若，则为等腰三角形

B．若，，，则只有一解

C．若，则

D．若为锐角三角形，则

三、填空题

12．已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是.

13．设复数若则的最小值为.

14．如图，在中，点是边上一点且，是边的中点，直线和直线交于点，若是的平分线，则.

??

四、解答题

15．已知在中，角所对的边分别为，记其面积为，则有

(1)求；

(2)若，求的最小值．

16．已知平行四边形中，，，和交于点．

??

(1)用，表示向量．

(2)若的面积为，的面积为，求的值．

(3)若，，求的余弦值．

17．已知函数（，）的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象过点．

(1)求的解析式；

(2)求函数的单调递增区间；

(3)将函数的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程，在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围．

18．如图，设是平面内相交成的两条射线，分别与同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.

(1)在仿射坐标系中

①若，求；

②若，且与的夹角为，求；

(2)如上图所示，在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上，分别为中点，求的最大值.

19．复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔?棣莫弗?欧拉?高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受.

材料：形如的数称为复数的代数形式.而任何一个复数都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作.复数叫做复数的三角形式.由复数的三角形式可得出，若，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍.

请根据所学知识，回答下列问题：

(1)试将写成三角形式；

(2)设复数，且.若复数在复平面上对应的点分别为，且为复平面的坐标原点.向量逆时针旋转后与向量重合，求实数，的值；

(3)已知单位圆以坐标原点为圆心，点为该圆上一动点（纵坐标大于0），点，以为边作等边，且在上方.求线段长度的最大值.

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《湖南省长沙市望城区第一中学2024-2025学年高一下学期3月阶段测试数学试卷》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

A

A

B