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变化率与导数教学设计.docVIP

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“变化率问题与导数的概念”教学设计

一、教材分析

本节内容选自课标实验教材人教A版,是导数的起始课,主要内容有变化率问题和导数的概念。导数是微积分中的核心概念,它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。在本章的学习中,学生将学习导数的有关知识,体会其中蕴含的思想方法,感受其在解决实际问题中的作用,了解微积分的文化价值。大纲教材中导数概念学习的起点是极限,这种建立概念的方式具有严密的逻辑性和系统性,但学生很难理解极限的形式化定义,因此也影响了对导数本质理解。教材通过列表计算、直观地把握函数变化趋势(蕴涵着极限的描述性定义),这种直观形象的方法中蕴含了逼近的思想,这样定义导数的优点是:

1.使学生将更多精力放在导数本质的理解上;

2.学生对逼近思想有了丰富的直观基础和一定的理解,有利于在大学的初级阶段学习严格的极限定义。

基于上述分析,本节课的教学重点是:丰富学生的感性经验,运用逼近的思想方法引导学生探索理解导数的思想及内涵。

二、教学设计

课题:变化率问题与导数的概念

教学目标:1.通过分析实例,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;

2.通过动手计算培养学生观察、分析、比较和抽象概括的能力,体会逼近的思想方法;

3.经历从生活中的变化率问题抽象概括出平均变化率的过程,体会数学知识来源于生活,又服务于生活。通过概念的形成过程体会从特殊到一般的数学思想方法。

教学重点:了解瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵。

教学难点:从平均变化率向瞬时变化率的过渡。

教学过程:

1.创设情境、引入新课

教师介绍:微积分的创立是数学发展的里程碑,它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期,为研究变量和函数提供了重要方法和手段。在本章中,学生将通过大量的实例,经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程,那么,我们先来研究变化率的问题,引出新课。

设计意图:充分挖掘章引言的教学价值,它说明了三方面的问题:首先,简明的指出了函数和微积分的关系;其次,概述了微积分的创立史及它的地位;第三,概述本章的学习内容。

2.实例探索,引出概念

问题1:大家可能有过吹气球的经验。在吹气球的过程中,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢。这个过程中的自变量和函数值分别是谁?试建立它们之间的函数关系,从数学角度如何描述上述变化过程呢?

设计意图:通过分析生活实例,提炼数学模型,为归纳函数平均变化率概念提供具体背景。

师生活动:回忆吹气球的过程(或者让学生现场吹气球),建立半径r关于体积V的函数关系:。再将气球平均膨胀率转化为平均变化率的问题,建立计算公式:。通过观察和计算,用数据解释上述现象,并通过几何画板演示,更逼真的感受上述现象。图1直观地演示了当球的体积增大(黑色部分面积变大,绿色越来越薄)时,半径增大越来越小。图2演示当A,B两点向右运动时,自变量的增量保持不变,但是平均变化率越来越小。

图2

图2

图1

问题2阅读“高台跳水”问题,解决探究栏目,该栏目中的问题(2)给你什么启示?怎样才能更准确的描述运动员的运动状态呢?

设计意图:分析实例,抽象数学模型,为归纳函数平均变化率概念提供又一重要背景,并使学生初步感受平均变化率的不足,激发进一步探求新知的欲望。

图3师生活动:完成问题2。并抽象出其中的平均变化率的计算公式:。并借助于几何画板给予直观解释。

图3

3.分析归纳,得到概念

问题3对比问题1和问题2中的平均变化率计算关系式,他们有什么共同特点?对于一般函数f(x),如何计算其平均变化率?

设计意图:让学生结合两个实例,对比、分析,抽象概括出一般形式,经历由特殊到一般的数学过程。

师生活动:学生讨论,分析,归纳根据前面的实例,得到结论:

定义:一般地,函数y=f(x)中,式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率,则:。

其中△x、△y的值可正、可负,但△x值不能为0,△y的值可以为0。

若函数f(x)为常函数时,△y=0。

变式: 。

问题4观察函数f(x)的平均变化率,结合直线的斜率分析平均变化率的几何意义是什么?

图4

设计意图:从几何角度得到平均变化率的几何意义,体现数形结合的思想。

师生活动:学生观察图像,并通过几何画板的演示,得到平均变化率即反映了直线AB的斜率。

4.继续探索,展示内涵

问题5回顾问题2,用平均速度描述运动员的运动状态会出现悖论:运动员在运动,但平均速度是0。那么如何求运动员的瞬时速度呢?可以t=2时刻的瞬时速度为例进行研究。

设计意图:帮助学生体会从平均

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