2025届高考数学二轮复习微专题2　平面向量.docxVIP

《全品高考第二轮专题》

微专题2平面向量

1.求解向量模的最值(范围)常用的方法.(1)函数法;(2)三角不等式法;(3)几何法.

1[2024·广西贵港模拟]已知圆C:(x-2)2+(y-2)2=4,直线l:(m+2)x-my-4=0,若l与圆C交于A,B两点,设坐标原点为O,则|OA|+2|OB|的最大值为 (D)

A.43 B.63

C.415 D.230

[解析]圆C:(x-2)2+(y-2)2=4的圆心为C(2,2),半径为2,|OC|=22,直线l的方程可化为m(x-y)+2x-4=0,则l过定点(2,2),所以|AB|=4.显然2OC=OA+OB,即4OC2=OA2+OB2+2OA·OB,又AB2=OA2+OB2-2OA·OB,所以|OA|2+|OB|2=12(4|OC|2+|AB|2)=24.设|OA|=26cosθ,|OB|=26sinθ,易知|OA|,|OB|∈(22-2,22+2),则|OA|+2|OB|=230sin(θ+φ)≤230,其中tanφ=12,则当θ+φ=π2时等号成立,此时tanθ=2,|OA|=26×15=2305∈(22-2,22+2),符合条件,所以

2已知平面上的点O,A,B满足|OA|=|OB|=2,且|OA+OB|=|OA|,点C满足|OC-OB|=217,动点P满足OP=tOA+(1-t)OC,则|OP|的最小值为 (A)

A.217 B.

C.1 D.1或21

[解析]由题意得OA2=(OA+OB)2=OA2+OB2+2OA·OB=4+4+2×2×2×cosOA,OB=4,所以cosOA,OB=-12,又0≤OA,OB≤π,所以OA,OB=2π3.因为|OC-OB|=217,即|BC|=217,所以点C

如图,以O为坐标原点,以OB的方向为x轴正方向,建立平面直角坐标系.易知B(2,0),A(-1,3),则点C的轨迹方程为(x-2)2+y2=37.由OP=tOA+(1-t)OC,得点P,A,C三点共线,过点A作圆B的切线,设其方程为y-3=k(x+1),即kx-y+k+3=0,由点B(2,0)到该切线的距离为217,可得|2k-0+k+3|1+k2=217,解得k=-32或k=-35.由图知,当|

此时|OP|的最小值即为点O到切线的距离,即为|-3|3+4=37=21

2.a在b方向上的投影向量为a·b|

3[2024·辽宁渤海大学附中模拟]已知单位向量a,b满足|a-b|=1,则a在b方向上的投影向量为 (A)

A.12b B.-1

C.12a D.-1

[解析]|a-b|2=a2-2a·b+b2=1,因为|a|=|b|=1,所以a·b=12,所以a在b方向上的投影向量为a·b|b|·b

4[2024·呼和浩特三模]非零向量a,b,c满足b⊥(a-c),a与b的夹角为π6,|a|=3,则c在b方向上的投影向量的模为 (D)

A.32 B.-

C.12 D.

[解析]因为b⊥(a-c),所以b·(a-c)=a·b-c·b=0,即c·b=a·b,又a与b的夹角为π6,|a|=3,所以c在b方向上的投影向量的模为|c|cosc,b=c·b|b|=a·b|b