2025届高考数学二轮复习微专题5　递推数列.docxVIP

《全品高考第二轮专题》

微专题5递推数列

1.数列相邻项递推关系也常常会涉及相邻项的和与积,此类问题要通过分别讨论项数为奇数、偶数来确定奇偶项的通项公式.

2.倒数形式的递推关系一般都是分式型,通过取倒数得到新的递推关系,进而应用相应方法求解.

3.两个数列的交叉递推关系,主要就是理顺项数与项的区别和联系,能够应用对应的方法求解问题.

1[2024·山东青岛二模]已知数列{an}满足an+1+an=4n+4(n∈N*),且a1=3.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设bn=(-2)an,数列{bn}的前n项和为Sn,若Sn-2024,

解:(1)因为an+1+an=4n+4①,所以an+an-1=4n(n≥2)②,

由①-②得an+1-an-1=4(n≥2),由a1=3,可得a2=5.

数列{an}的奇数项是首项为3,公差为4的等差数列,

则a2n-1=3+4(n-1)=2(2n-1)+1,即当n为奇数时,an=2n+1;

数列{an}的偶数项是首项为5,公差为4的等差数列,

则a2n=5+4(n-1)=2×2n+1,即当n为偶数时,an=2n+1.

综上,数列{an}的通项公式为an=2n+1.

(2)由(1)知bn=(-2)2n+1=-22n+1,显然数列{bn}是首项为-8,公比为4的等比数列,

则Sn=-8(1-4n)1-4=-22n+3-

因为数列{4n}是递增数列,且44=256760,45=1024760,所以n≥5,

所以n的最小值为5.

2[2024·武汉模拟]已知数列{an}满足a1=1,an+1=4an

(1)求证数列1an是等差数列,并求数列{an}

(2)设bn=(-1)n+1anan+1,求数列{

解:(1)显然an≠0,由an+1=4an3an+4,得1a

又1a1=1,所以数列1an是首项为1,

所以1an=1+(n-1)×34=3n+14,

(2)由(1)可知bn=(-1)n+1(3n+1)4×(3n+4)4

所以T20=116

=116×(-6)×(7+13+19+…+61)=116×(-6)×7+612

3[2024·沈阳模拟]已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn满足log2(Sn+2)=n+1.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若数列{bn}的通项公式为bn=n,求{an·bn}的前n项和Mn;

(3)在任意相邻两项ak与ak+1(其中k∈N*)之间插入2k个3,使它们和原数列的项构成一个新的数列{cn},记Tn为数列{cn}的前n项和,求T36的值.

解:(1)因为log2(Sn+2)=n+1,所以Sn+2=2n+1,即Sn=2n+1-2,

当n=1时,a1=S1=22-2=2,

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2-2n+2=2n,

因为a1=2也满足上式,

所以{an}的通项公式为an=2n.

(2)由(1)可知an·bn=n×2n,

所以Mn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n①,

所以2Mn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1②,

由①-②得-Mn=1×2+1×22+1×23+…+1×2n-n×2n+1

=2(1-2n)1-2-n

所以Mn=(n-1)×2n+1+2.

(3)由题意,数列{cn}中的项依次为a1,3,321,a2,3,…,322,

在a1到a5之间3的个数为21+22+23+24=30,故到a5处{cn}共有35项,

所以前36项中含a1,…,a5及31个3,

所以T36=a1+a2+…+a5+31×3=2+22+…+25+93=2×(1