2025届高考数学二轮复习微专题6　数列求和.docxVIP

《全品高考第二轮专题》

微专题6数列求和

1.错位相减法求和的综合应用.一些问题中差比数列嵌套在其他数列中,此时可以单独对差比数列进行求和,注意计算的准确性

1[2024·河北衡水三模]已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+an+1=2an+2.

(1)请写出a3-a2,a4-a3,a5-a4的值,给出一个你的猜想,并证明;

(2)设bn=3na2n+1,求数列{bn}的前n项和Sn.

解:(1)由a1=1,a2=2,an+an+1=2an+2,可得a3=12(a2+a1)=32,a4=12(a3+a2)=74,a5=12(a4+a3)=138,所以a3-a2=-12,a4-a3=14,

猜想{an+1-an}是以1为首项,-12为公比的等比数列.证明如下

因为an+2-an+1=12(an+an+1)-an+1=-12(an+1-a

且a2-a1=1,所以{an+1-an}是以1为首项,-12为公比的等比数列

所以an+1-an=-1

(2)由(1)知,当n≥2时,a2-a1=1,a3-a2=-12,a4-a3=-122,…,an-an

累加得an-1=1+-12+-122+…+-12n-

所以an=53-23×-1

又a1=1满足上式,所以an=53-23×-12n-

因为bn=3na2n+1=5n-2n4n,所以Sn=5×(1+2+3+…+n

其中1+2+3+…+n=n(

设Tn=14+242+…+n4n,则14Tn=

两式相减得34Tn=14+142+…+14n-n4n+1=4314-14

综上可得,数列{bn}的前n项和Sn=5n(n+1)

2.裂项相消法的综合应用.一些问题中满足裂项的通项嵌套在其他数列中,此时依然可以应用裂项相消法进行求和,注意剩余项和系数的问题.

2[2024·福建厦门三模]已知Sn为数列{an}的前n项和,a1=1,S4=10,且Snn为等差数列

(1)求{an}的通项公式;

(2)若bn=an,n为奇数,1anan+2,n

解:(1)设等差数列Snn的公差为d,则S44-S11=3d,因为S1=a1=1,所以104-1=3

所以Snn=1+12(n-1)=n+12,则Sn=n(n+1)2.当n≥2时,an=Sn-

又a1=1满足上式,所以an=n,n∈N*.

(2)由(1)知bn=n

则T2n=(b1+b3+b5+…+b2n-1)+(b2+b4+b6+…+b2n)=(1+3+5+…+2n-1)+12×4+14×6+16×8+…+12n×

所以数列{bn}的前2n项和T2n=n2+14-1

3[2024·太原模拟]已知数列{an}的前n项和为Sn,且1S1+1S2+…+1

(1)求{an}的通项公式;

(2)若bn=(n-1)(n+2)anan+1

解:(1)因为1S1+1S2+…+1Sn=2nn+1,所以1

两式相减得1Sn=2nn+1-2(n-1)n=2n

当n=1时,1S1=1,所以S1=1,满足上式,所以Sn=n(n+1)2

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n(n+1)2

又a1=S1=1满足上式,所以an=n(n∈N*).

(2)由(1)知bn=(n-1)(n+2)

所以Tn=n-2×1-12+12-13