2025届高考数学二轮复习微专题8　简单几何体和球的表面积、体积、结构特征.docxVIP

《全品高考第二轮专题》

微专题8简单几何体和球的表面积、体积、结构特征

1.简单几何体的体积的最值或范围问题的解决思路主要是运用转化思想,将问题转化为三角形问题、均值不等式问题、函数问题、数列问题等.

2.简单几何体在实际问题中的应用,主要将实际问题转化为我们学习的简单几何体问题,应用简单几何体的性质和相应方法进行求解.

1[2022·全国乙卷]已知球O的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面上,则当该四棱锥的体积最大时,其高为 (C)

A.13 B.

C.33 D.

[解析]方法一(基本不等式):

设该四棱锥的底面为四边形ABCD,四边形ABCD所在小圆的半径为r,设四边形ABCD的对角线的夹角为α,则S四边形ABCD=12·AC·BD·sinα≤12·AC·BD≤12×2r×2r=2r2(当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立),即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时,底面ABCD面积的最大值为2r2.当底面ABCD面积最大时,设四棱锥的高为h,则r2+h2=1,所以VO-ABCD=13×2r2·h=23r2·r2·2h2≤23r2+r

方法二(统一变量+基本不等式):

由题意可知,当四棱锥为正四棱锥时,其体积最大,设此时正四棱锥的底面边长为a,底面所在圆的半径为r,则r=22a,所以该四棱锥的高h=1-a22,体积V=13a21-a22=43a24·a24·1-

方法三(利用导数求最值):

由题意可知,当四棱锥为正四棱锥时,其体积最大,设此时正四棱锥的底面边长为a,底面所在圆的半径为r,则r=22a,所以该四棱锥的高h=1-a22,体积V=13a21-a22,令a2=t(0t2),则V=13t2-t32.设f(t)=t2-t32(0t2),则f(t)=2t-3t22,当0t43时,f(t)0,f(t)单调递增,当43t2时,f(t)0,f(t)单调递减,所以当t

2[2023·全国甲卷]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,O为AC1的中点,若该正方体的棱与球O的球面有公共点,则球O的半径的取值范围是[22,23].?

[解析]设球O的半径为R.当球O是正方体的外接球时,球O恰好经过正方体的每个顶点,此时球O的半径最大,正方体的外接球直径2R=AC1=42+42+42=43,则R=23

分别取棱AA1,BB1,CC1,DD1的中点M,H,G,N,显然四边形MNGH是边长为4的正方形,O为正方形MNGH的对角线的交点,连接MG,则MG=42+42=42,当球O的一个大圆恰好是四边形MNGH的外接圆时,球O的半径最小,所以Rmin=22.综上可知,球O的半径的取值范围为[22

3日晷(如图)是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处的水平面所成角为 (B)

A.20° B.40°

C.50° D.90°

[解析]画出截面图如图所示,其中CD是赤道所在平面的截线,l是点A处的水平面的截线,依题意可知OA⊥l,AB是晷针所在直线,m是晷面的截线.依题意,晷面和赤道所在平面平行,晷针与晷面垂直,根据面面平行的性质定理可得m∥CD,根据线面垂直的定义可得AB⊥m.由于∠AOC=40°,m∥CD,所以∠OAG=∠AOC=40°,由于∠OAG+∠GAE=∠BAE+∠GAE=90°,所以∠BAE=∠OAG=40°,即晷针与点A处的水平面所成角为∠BAE=40°.故选B.