上海市杨浦高级中学2024_2025学年高一下学期开学摸底（3月） 数学试卷（含解析）.docx

上海市杨浦高级中学2024?2025学年高一下学期开学摸底（3月）数学试卷

一、填空题（本大题共12小题）

1．集合，则.

2．函数的定义域为.

3．已知扇形的弧长和半径都是4，则扇形的面积为．

4．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，其终边经过点.则角的余弦值为.

5．代数式可化为的形式，此时.

6．已知函数是偶函数，则．

7．已知，则．（用a和b表示）

8．关于的不等式的解集为，则实数.

9．已知函数的最小值为，则的取值范围为.

10．定义：关于的两个不等式和的解集分别为和，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式与不等式为对偶不等式，且，则．

11．以下四个命题中真命题的序号是.

①若角，满足，，则角，终边关于原点对称；

②在三角形中，若，则三角形是等边三角形；

③“”是“为第三、四象限角”的必要不充分条件；

④已知，则.

12．设.若对任意实数都有，则满足条件的有序实数组的组数为.

二、单选题（本大题共4小题）

13．“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

14．若，且，则幂函数与角的终边（???）

A．不可能有交点 B．可能有交点 C．有且只有1个交点 D．至少有2个交点

15．设是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（????）

A． B．

C． D．

16．假设在某次交通事故中，测得肇事汽车的刹车距离大于，肇事汽车在该路段的限速为．根据经验，在该路段的刹车距离（单位：）与刹车前的速度（单位：）之间的关系为，下面的表格记录了三次实验的数据：

（单位：km/h）

…

（单位：m）

…

对于以下两个结论：

①若该肇事汽车刹车前的速度为，则的最小正整数的值为；

②可以断定，该肇事汽车在刹车前是超速行驶．

其中正确的是（????）

A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立

C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立

三、解答题（本大题共5小题）

17．已知，，，求：

（1）和的值；

（2）的值.

18．（1）已知，若、是关于的一元二次方程的两实数根，求的值；

（2）已知，且，求及.

19．如图，点、分别是角、的终边与单位圆的交点，.

(1)若，，求的值；

(2)证明角、在上述范围下的两角差的余弦公式，即.

20．漳州市是中国重要的食用菌生产基地之一，食用菌产业得益于得天独厚的气候环境和土壤条件.某乡镇企业于2025年准备投资种植一批目前市场上较受欢迎的鸡枞菌.根据研究发现：种植鸡枞菌，一年需投入固定成本55万元，第一年最大产量50万斤，每生产万斤，需投入其他成本万元，，根据市场调查，鸡枞菌的市场售价每万斤20万元，且全年所有产量都能全部售出.（利润=收入固定成本其它成本)

(1)写出2025年利润（万元）与产量x（万斤）的函数解析式；

(2)求2025年鸡枞菌产量x为多少万斤时，该企业所获利润最大，求出利润最大值.

21．已知，函数.

（1）当时，解不等式；

（2）若函数的值域为，求的取值范围；

（3）若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求的取值范围.

参考答案

1．【答案】

【详解】因为集合，则.

2．【答案】且

【详解】由题知且，解得且，

所以函数的定义域为且，

3．【答案】

【详解】由题意可知，扇形的面积为.

4．【答案】/

【详解】,

5．【答案】

【详解】

，

所以.

6．【答案】5

【解析】利用偶函数的定义及图象关于轴对称的特点，可以建立及，解得，，即可得到.

【详解】解：函数是偶函数，

或

偶函数的图象关于轴对称，

7．【答案】

【详解】因为，则，

所以.

8．【答案】1

【详解】因为关于的不等式的解集为，

所以，所以，

所以，

9．【答案】

【详解】由题意可知，若，则时，单调递减，此时函数无最小值；

故需满足，得，

函数，，若函数的最小值为，

则且，解得：

综上可知，.

10．【答案】或.

【详解】不等式与不等式为对偶不等式，

设不等式的对应方程两个根为、，

则不等式对应方程两个根为：、

所以

即：因为，所以或

11．【答案】②③

【详解】对于①，当为偶数时，角终边重合，故①错误；

对于②，因为

所以

则

当且仅当时，

，

即当时，有.

即三角形是等边三角形，故②正确；

对于③，当时，，

角终边在第三、四象限或在轴负半轴上，故③正确；

对于④，因，且，

则，

则，

故，故④错误.

12．【答案】4

【详解】试题分析：

当时，，，又，，注意到，所以只有2组：,满足题意；当时，同理可得出满