2025年高考数学高考数学二轮热点题型技巧全攻略(新高考通用)专题02高等数学背景下的创新问题(五大题型)(原卷版+解析).docxVIP

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专题02高等数学背景下的创新问题

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TOC\o1-1\h\u题型01泰勒公式与帕德近似 1

题型02罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、微积分 3

题型03行列式与矩阵 6

题型04初等数论 8

题型05平面几何 9

题型01泰勒公式与帕德近似

【解题规律·提分快招】

1、泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式．

2、【极值点第二充分条件】已知函数在处二阶可导，且

（1）若，则在处取得极小值；

（2）若，则在处取得极大值.

3、帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，．（注：，，，，…；为的导数）.

【典例训练】

一、解答题

1．（2024高三下·全国·专题练习）英国数学家泰勒发现了如下公式：，，其中．这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性．

(1)用前三项计算；

(2)已知，，，试证明：．

2．（24-25高三上·四川自贡·期中）新信息题型是目前高考的热点题型.这类题要求答题者在有限的时间内，阅读并理解题目所给予的信息，根据获取的信息解答问题.请同学们根据以下信息回答问题：

(1)在高等数学中，我们将在处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：，（其中表示的次导数，），以上公式我们称为函数在处的泰勒展开式，当时泰勒展开式也称为麦克劳林公式，比如在处的麦克劳林公式为：，由此当时，可以非常容易得到不等式，，，，请利用上述公式和所学知识写出在处的泰勒展开式；（写出展开式的前三项即可）

(2)设为正整数，数列，，，是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列，，，是一可分数列.请写出所有的，，使数列，，，是—可分数列.

3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）给定两个正整数，，函数在x=0处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，.已知在x=0处的阶帕德近似注：，，，，…

(1)求，，的值；

(2)比较的大小，并说明理由；

(3)求不等式的解集，其中

4．（23-24高三下·安徽滁州·期末）1715年英国数学家泰勒发现了如下公式：（其中，为自然对数的底数，）.已知.

(1)证明：；

(2)设x∈0,+∞，证明：

(3)若，恒成立，求的取值范围.

5．（23-24高三下·四川成都·期中）帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，.（注：，，，，…；为的导数）.

(1)求函数在处的阶帕德近似函数；

(2)在（1）的条件下，试比较与的大小；

(3)在（1）的条件下，若在上存在极值，求m的取值范围.

题型02罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、微积分

【解题规律·提分快招】

1、拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数在上连续，且在上可导，则必有，使得.

2、罗尔定理描述如下：如果上的函数满足以下条件：①在闭区间上连续，②在开区间内可导，③，则至少存在一个，使得．

3、微积分

知识卡片1：一般地，如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式（其中为小区间长度），当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作即.这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积.

知识卡片2：一般地；如果是区间上的连续函数，并且，那么.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式.

【典例训练】

一、解答题

1．（23-24高三下·吉林松原·期末）罗尔中值定理是微分学中的一条重要定理，根据它可以推出拉格朗日中值定理和柯西中值定理，它们被称为微分学的三大中值定理.罗尔中值定理的描述如下：如果函数满足三个条件①在闭区间上的图象是连续不断的，②在开区间内是可导函数，③，那么在内至少存在一点，使得等式成立.

(1)设方程有一个正根，证明：方程必有一个小于的正根.

(2)设函数是定义在上的连续且可导函数，且.证明：对于，方程在内至少有两个不同的解.

(3)设函数.证明：函数在区间内至少存在一个零点.

2．（2024·安徽六安·模拟预测）罗尔中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日中值定理、柯西中值定理．罗尔定理描述如下：如果上的