2025年高考数学高考数学二轮热点题型技巧全攻略(新高考通用)专题08圆锥曲线常考题型全归纳(九大题型)(学生版+解析).docxVIP

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专题08圆锥曲线常考题型全归纳

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TOC\o1-1\h\u题型01直线和圆锥曲线的位置关系 1

题型02弦长及三角形、四边形面积问题 3

题型03中点弦问题（点差法） 6

题型04直线过定点问题 7

题型05定点中的探究性问题 8

题型06斜率的和、差、积、商为定值问题 10

题型07线段、角度、面积定值问题 12

题型08圆锥曲线与向量结合 14

题型09定直线问题 15

题型01直线和圆锥曲线的位置关系

【解题规律·提分快招】

与联立，两边同时乘上即可得到，为了方便叙述，将上式简记为．该式可以看成一个关于的一元二次方程，判别式为可简单记．

同理和联立，为了方便叙述，将上式简记为，，可简记．

与C相离；与C相切；与C相交．

注意：（1）由韦达定理写出，，注意隐含条件．

（2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意．

（3）如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把，互换位置即可．

（4）直线和双曲线联立结果类似，焦点在x轴的双曲线，只要把换成即可；

焦点在y轴的双曲线，把换成即可，换成即可．

（5）注意二次曲线方程和二次曲线方程往往不能通过联立消元，利用判断根的关系，因为此情况下往往会有增根，根据题干的隐含条件可以舍去增根（一般为交点横纵坐标的范围限制），所以在遇到两条二次曲线交点问题的时候，使用画图的方式分析，或者解方程组，真正算出具体坐标．

【典例训练】

一、解答题

1．（2024高三·全国·专题练习）（1）求双曲线在点处的切线方程；

（2）已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，A，B为切点，求直线AB的方程．

2．（2024高三下·全国·专题练习）已知点为椭圆上任意一点，直线，点F为椭圆C的左焦点．

(1)求椭圆C的离心率及左焦点F的坐标；

(2)求证：直线与椭圆C相切；

3．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形.

(1)求的方程；

(2)若过点的直线与只有一个公共点，求直线的方程.

4．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点.

(1)求双曲线的方程；

(2)直线与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围.

5．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形．

(1)求的方程；

(2)讨论过点的直线与的交点个数．

6．（2024·山东泰安·模拟预测）已知曲线，过上点作两条互相垂直的直线,，与的另一交点为，与的另一交点为.

(1)证明：是双曲线；

(2)若到直线的距离为，求直线的方程.

题型02弦长及三角形、四边形面积问题

【解题规律·提分快招】

一、弦长公式

（最常用公式，使用频率最高）

二、三角形面积问题

直线方程：

三、焦点三角形的面积

直线过焦点的面积为

注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数

四、平行四边形的面积

直线为，直线为

注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数.

【典例训练】

一、解答题

1．（24-25高三上·江西吉安·期末）在以为原点的平面直角坐标系中，过点且斜率存在的直线与椭圆：交于两点，设的中点为．

(1)求直线与的斜率之积；

(2)求而积的最大值．

2．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴.

(1)求的方程；

(2)过点的直线交于两点，求面积的最大值.

3．（24-25高三上·湖南·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知动点满足：．

(1)求动点E的轨迹方程；

(2)过作直线交曲线的y轴左侧部分于A，B两点，过作直线交曲线的y轴右侧部分于C，D两点，且，依次连接A，B，C，D四点得四边形ABCD，求四边形ABCD的面积的取值范围．

4．（24-25高三下·山东德州·开学考试）已知抛物线的焦点为，且为上不重合的三点.

(1)若，求的值；

(2)过两点分别作的切线与相交于点，若，求面积的最大值.

5．（24-25高三下·山西晋中·开学考试）已知抛物线的焦点为，直线过点交于，两点，在，两点的切线相交于点，的中点为，且交于点．当垂直于轴时，长度为．

(1)求抛物线的方程；

(2)若点的横坐标为，求；

(3)设抛物线在点处的切线与，分别交于点，，求四边形面积的最小值．

6．（2024·甘肃张掖·一模）已知曲线上任意一点满足．

(1)化简曲线的方程；

(2)已知圆（为坐标原点），直线经过点且与圆相切，过点作直线的垂线，交于、两点，求面积的最小值．

题型03中点弦问题（点差