2025高考数学二轮复习：蒙日圆与阿基米德三角形.pdfVIP

微拓展2蒙日圆与阿基米德三角形

[考情分析]在近几年全国各地的解析几何试中可以发现许多试涉及蒙日圆与阿基米德三角形，这些

问聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问，难度为中高档.

考点一蒙日圆

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在椭圆泌＞0)上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半

径等于椭圆长半轴与短半轴平方和的算术平方根，这个圆叫蒙日圆.

例1(1)已知椭圆M的方程为亍+、2=1,过平面内椭圆〃外的点尸作椭圆M的两条互相垂直的切线，

则点月的轨迹方程为()

2212

A.x+y=5B.x+y=4

CM+y2=3DM+y2=|

答案A

解析设点P(xo,加),当切线斜率存在且不为0时，府#2,y(#±l,

设切线方程为y-yo=Mx-%o),

联立[7+y=L

,y-y=k(x-),

0

2

消去y得(4乃+l)x+8(yo-fcro)fct+4(yo-fcvo)2-4=O,

则/=64产(yo-fcto)2-4x(44+l)[4(yo-fcto)2-4]=O,

即(4-就点+2和证+1-羽=0,两切线垂直，故其斜率之积为一1,则由根与系数的关系知蹙=-1,即诏+诏=5.

4To

当切线斜率不存在或为0时，此时点P坐标为(2,1),(-2,1),(-2,-1),(2,-1),满足方程就+无=5,故

所求轨迹方程为/+y2=5.

(2)(多选)已知焦点在无轴上的椭圆C的长轴长为4,离心率为e=%P为蒙日圆上任一点，则以下说法

正确的是()

A.过点尸作椭圆C的两条切线PA,PB,则有PALM

B.过点尸作椭圆的两条切线，交椭圆于点A,B,。为原点，则kOP必B=[

C.过点尸作椭圆的两条切线，切点分别为A,B,则SMPB的取值范围为卷，y]

D.过点P作椭圆的两条切线，切点分别为A,B,O为原点，则SAAOB的最大值为VI

答案ACD

解析由题意知椭圆C：马+昌=14（泌＞0）的长轴长为4,离心率为e=l,

故a=2,-=l,

a2

所以C=1,加=〃2_/=3,

22

则椭圆方为千+5=1蒙日圆”的方为/+/7.

43

对于A,由蒙日圆的定义知PAVPB,A正确；

B（X3,第），贝IPA的方为资+等=1,

对于B,设AS,力），

P3的方为卓+第=1,

43

两切线过点尸（羽，-），故竽+胃1=1,等+第=1,

4343

即点A,B在直线号+第=1上，因为两点确定一条直线，

43

故直线AB的方为等+号=1,则N二等,

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