2025版高中数学专题强化练5运用基本不等式求最值的常用技巧含解析北师大版必修5.docxVIP

PAGE

PAGE6

专题强化练5运用基本不等式求最值的常用技巧

一、选择题

1.(2024辽宁六校高一上联考,)若0x12,则y=x1-4x2的最大值为

A.1B.12C.14

2.(2024安徽芜湖一中高一上月考,)已知x≥52,则y=x2-3x

A.最大值1B.最小值1

C.最大值3D.最小值3

3.(2024山西运城高一上10月联考,)已知0x1,则14x+11-x

A.9B.94C.5D.

4.()若a、b、c均大于0,且2a+b+c=6,则a(a+b+c)+bc的最大值为 ()

A.34B.3C.32

二、填空题

5.()函数y=x+22x+5(x-2)

深度解析

6.()若a,b均为正实数,且a+b=1,则a+1+b+1的最大值为

7.()若正实数x,y满意2x+y+6=xy,则2x+y的最小值是.?

8.()已知OA=aOB+bOC(a0,b0),且A,B,C三点在同一条直线上,则1a+1b的最小值为

三、解答题

9.()已知x54,求函数y=4x-2+14x

10.(2024山东菏泽高二期末,)(1)已知x1,求2x+1x-1

(2)已知xy0,求x2+4y(

11.()某商品进货价每件50元,据市场调查,当销售价格(每件x元)为50x≤80时,每天售出的件数为P=105(x-40

12.()若x0,y0,且2x2+y23=8,求x6+2y

答案全解全析

专题强化练5运用基本不等式求最值的常用技巧

一、选择题

1.C∵0x12,∴1-4x20,∴y=x1-4x2=x2(1-4x2)=124x2(1-4x2

方法总结

求f(x)g(x)的最值时,常将f2(x)放入根号内

2.D因为x≥52,所以x-2≥12,所以y=x2-3x+3x-2=x2-4-3x+6+1x-2=x+1x-2-1=x-2+1x

方法总结

若分式的分子中多项式次数大于或等于分母中多项式次数,则一般运用分别常数法将其转化为积为定值的形式,再利用基本不等式求其最值.

3.B14x+11-x=14x+11-

因为0x1,所以x1-x

所以14x+11-x=

≥2x1-x·1

当且仅当x1-x=1-x4x

所以14x+11

4.C∵a(a+b+c)+bc=a2+ab+ac+bc

=(a2+ac)+(ab+bc)=a(a+c)+b(a+c)

=(a+b)(a+c)≤(

=2a+b+c

当且仅当a+b=a+c=62,即b=c时取“=”

∴a(a+b+c)+bc的最大值为32.故选

二、填空题

5.答案2

解析设t=x+2(t0),则x=t2

∴y=t2t2+1=12t+1t≤122t·1t=

方法总结

对于含根号的式子,常先换元,再考虑用基本不等式求最值.换元是为了化繁为简,同时要留意换元后未知量的取值范围.

6.答案6

解析(a+1+b+1)2=a+1+b+1+2a+1b+1≤

当且仅当a+1=b+1,即a=b=12时,取等号,此时(a+1+b+1

7.答案12

解析解法一:∵x0,y0,

∴xy=12·(2x)·y≤12·2x+y22=18·(2x+y)2,当且仅当2x=y

∴2x+y+6=(2x+y)+6=xy≤18(2x+y)2

∴(2x+y)2-8(2x+y)-48≥0,

令2x+y=t,则t0,且t2-8t-48≥0,

∴(t-12)(t+4)≥0,

∴t≥12,即2x+y≥12,

∴2x+y的最小值是12.

解法二:由x0,y0,2x+y+6=xy,得

xy≥22xy+6(当且仅当2x=y时取等号),即(xy)2-22·xy-6≥

∴(xy-32)(xy+2)≥0,

又∵xy0,

∴xy≥32,即xy≥18,

∴xy的最小值是18,

∵2x+y=xy-6,

∴2x+y的最小值是12.

8.答案4

解析由三点共线可得a+b=1,则1a+1b=1a+1b(a+b)=2+ba+ab,因为ba和ab的积为定值,所以利用积定和最小法则可得ba+ab≥2ba·ab=2,当且仅当ba=ab,即

三、解答题

9.解析∵x54,∴5-4x

∴y=4x-2+14x-5=-5-4

当且仅当5-4x=15-4x,即x=1

故当x=1时,y取最大值,ymax=1.

10.解析(1)因为x1,所以x-10,

所以2x+1x-1=2(x-1)+1x-1+2

当且仅当2(x-1)=1x-1(x1),即x=1+22

故2x+1x-1的最小值为

(2)因为xy0,所以x-y0,所以0y(x-y)≤y+(x-y)22=x24,所以x2+

当且仅当y=x-y,x

故x2+4y(x

11.解析设每天获得的利润为y元,

则y=(x-5