冲刺2025高考数学 抢分秘籍数列求和（五大题型）（含答案解析）新高考专用.docxVIP

PAGE6/NUMPAGES8

数列求和

目录

【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）

【题型一】利用公式法求和

【题型二】奇偶并项（分组）求和

【题型三】列项相消求和

【题型四】错位相减法求和

【题型五】数列新定义

【误区点拨】点拨常见的易错点

易错点：求和时项数，化简易错

：以选择题和填空题为主，偶尔出现在解答题中，难度中等偏上．通项主要考查等差数列和等比数列的通项公式，常结合递推关系求解通项。求和重点考查等差数列和等比数列的前项和公式，以及错位相减法、裂项相消法等求和方法．

：熟练掌握数列求和的几种常规方法，等差等比数列混合的时候弄清楚等差与等比数列的项数；数列与新定义结合的时候深刻理解新定义的定义是什么以及考察的知识点

【题型一】利用公式法求和

【例1】已知数列中，．

(1)求数列的前5项；

(2)若等差数列满足，求的前n项和．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）先证明数列是等比数列，再写出通项即可计算求解；

（2）先求出的通项公式，再应用等差数列求和公式求解.

【详解】（1）数列中，因为，故，

故，所以数列是等比数列，公比是2，

又因为，所以．

所以；

（2）等差数列满足，

设等差数列公差为，所以，所以,

所以的前n项和．

【例2】已知等差数列和等比数列都是递增数列，且，，.

(1)求，的通项公式：

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由题中条件求出公差公比，即可求，通项公式

（2）分别利用等差等比数列前项和公式求和即可.

【详解】（1）设数列和数列的公差公比分别为d，q，

，

等比数列是递增数列，

.

，

，

，

，

所以等差数列的通项公式为：，

等比数列的通项公式为：.

（2）为等比数列，

数列也是等比数列，公比为

数列的前项和

.

（1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法．

（2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法．

（3）常用公式：

=1\*GB3①平方和公式：；

=2\*GB3②立方和公式：．

（4）如果一个数列通过适当分组可写成的形式，而数列，可利用公式求和或可转化能够求和的数列，进而分别求和，再将其合并从而得出原数列的和．

【变式1】记为等差数列的前项和，已知，，则的最大值为（????）

A．16 B．18 C．23 D．25

【答案】D

【分析】设出公差，根据通项公式和求和公式得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式，当时，，当时，，从而确定当时，取得最大值，求出答案.

【详解】设公差为，则，，

解得，所以，

当时，，当时，，

所以当时，取得最大值，最大值为.

故选：D

【变式2】已知等比数列的公比，，．

(1)求；

(2)设，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）列出关于公比的方程，代入计算，即可得到公比，从而得到通项公式；

（2）将数列的通项公式化简，再由等差数列的求和公式代入计算，即可得到结果.

【详解】（1）因为，且，即，即，

化简可得，解得或，

又，所以，则.

（2）由（1）可知，，则，

即数列是以为首项，以为公差的等差数列，

则.

【变式3】已知数列为等差数列，首项，公差．

(1)若，证明：是等比数列；

(2)若，设数列的前项和为，求满足的的最小值．

(3)若，求数列的前项和；

【答案】(1)证明见详解

(2)13

(3)

【分析】（1）由等差数列通项公式可得，结合等比数列定义分析证明；

（2）由题意可得，利用裂项相消法求和；

（3）由题意可得以及数列的前项和，根据的符号去绝对值求和.

【详解】（1）因为数列为等差数列，首项，公差，

所以.

对于，且，

所以是等比数列.

（2）由（1）可知：，

可得，

令，解得，

所以满足的的最小值为13.

（3）由（1）可知：，

则，可知数列为等差数列，

设数列的前n项和为，则，

令，解得，

当时，，则；

当时，，则

；

综上所述：.

【题型二】奇偶并项（分组）求和

【例1】已知数列的前项和为，且，，则的值为（???）

A．360 B．480 C．960 D．1280

【答案】D

【分析】根据给定的递推公式可得，再求出数列的前40项中的奇数项的和及偶数项的和即可.

【详解】当n为奇数，，，

当n为偶数，，，

因此，的奇数项是以3为首项，3为公差的等差数列；

的偶数项是以为首项，3为公差的等差数列，

所以

.

故选：D

【例2】已知数列满足，记．

(1)证明：数列是等差数列．

(2)求的通项公式．

(3)求的前20项和．

【答案】(1)见解析

(2)

(3)

【分析】（1）利用等差数列的定义证明即可；

（2）利用等差数列的通项公式求解即可；

（3）利用分组求和法求解即可.

【详解】（1），故，

故，所以数列是公