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切线放缩中的目标意识

在前面的文章中，笔者已经提到了不等式的一种放缩技巧——切线放缩，即利用函数图像与其切线的关系实现

“以曲代直”，将任意形式的代数式放缩成一次式，下面给出几则例子：

对于指数函数yex，分别取x0,1,1,ln2处的切线，可以得到如下不等式：

xxx12e2xln22xx1

ex1eexexe2x

；；；（由此轻松可得）.

ee2

1

对于对数函数ylnx，分别取x1,e,e,2处的切线，可以得到如下不等式：

e

xx

lnxx1；lnx；lnx1；lnxex2.

ee2

利用切线放缩，可以得到如此多的结果，那么针对一个具体的问题时，哪个（最多哪些）放缩是有效的呢？这

就需要我们充分分析题目，明确放缩的目的和方向，有时还需要从精确度的角度来做出选择（因为切线放缩得到的

不等式在切点附近较精确）.下面以一道试题为例，体会切线放缩所需要的目标意识.

2

ab

【题】（2018南京师大附中调研）已知a1,b2，则的最小值为_________.

22

a1b4

笔者初拿此题，第一时间想到的是三角代换（因为有范围和根式）和几何构造（因为有根式和平方），初步探

索之后并没有得到一个明朗的做法（当然后面有其他老师做出来了），于是又转而用切线放缩，笔者为什么会觉得

切线放缩有可能成功呢？因为我们对下述代数式的最值是不陌生的：

2

ab

y.

ab1

二次

22

这是一个典型的型，换元，令tab1，即可轻松求得最值.由此想到，如果能把分母a1b4

一次



放缩成关于ab的一次式，不就迎刃而解了吗？而这种放缩恰恰是切线放缩的功能所在.

2amm2

通过简单计算，可知函数faa1在