高数-对坐标曲面积分.pptx

第五节第十一章

对坐标的曲面积分

一、有向曲面及曲面元素的投影

二、对坐标的曲面积分的概念与性质

三、对坐标的曲面积分的计算法

四、两类曲面积分的联系

一、有向曲面及曲面元素的投影

双侧曲面

•曲面分类曲面分内侧和

单侧曲面外侧

莫比乌斯带曲面分左侧和曲面分上侧和

右侧下侧

(单侧曲面的典型)

•指定了侧的曲面叫有向曲面,其方向用法向量指向

表示:

方向余弦封闭曲面

为前侧为右侧为上侧外侧

侧的规定000

0为后侧0为左侧0为下侧内侧

•设为有向曲面,其面元在xOy面上的投影记为

的面积为则规定

类似可规定

二、对坐标的曲面积分的概念与性质

1.定义：设为光滑的有向曲面,在上定义的向量

值函数若对的任

意分割和在局部面元上任意取点,下列极限都存在相等

则称此极限为A在有向曲面上对坐标的曲面积分，或

第二类曲面积分.记作

P,Q,R叫做被积函数;叫做积分曲面.

称为P在有向曲面上对y,z的曲面积分;

称为Q在有向曲面上对z,x的曲面积分;

称为R在有向曲面上对x,y的曲面积分.

若记正侧的单位法向量为

令

则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式

2.性质

(1)若之间无公共内点,则

(2)用¯表示的反向曲面,则

三、对坐标的曲面积分的计算法

定理:设光滑曲面取上侧,

是上的连续函数,则

证:

∵取上侧,

说明:如果积分曲面取下侧,则

•若则有

(前正后负)

•若则有

(右正左负)

例1.计算曲面积分其中为球面

外侧在第一和第八卦限部分.

思考:下述解法是否正确:

根据对称性

解:把分为上下两部分

四、两类曲面积分的联系

曲面的方向用法向量的方向余弦刻画

令

向量形式

(A在n上的投影)

例2.设是其外法线与z轴正向

夹成的锐角,计算

解:

例3.计算曲面积分其中

旋转抛物面介于平面z=0

及z=2之间部分的下侧.

解:利用两类曲面积分的联系,有

∴原式=

原式=

∴原式=

内容小结

1.两类曲面积分及其联系

定义:

•

•

性质:

联系:

2.常用计算公式及方法

第一类(对面积)转化

曲面积分二重积分

第二类(对坐标)

(1)统一积分变量代入曲面方程

(方程不同时分片积分)

第一类：面积投影

(2)积分元素投影

第二类：有向投影

(3)确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面

当时，

（上侧取“+”,下侧取“”)