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试题

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试题

广东省深圳市福田中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知i为虚数单位，，则（）

A. B. C. D.

2.已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是

A.若则 B.若，，则

C.若，，则 D.若，，则

3.在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可能有

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4已知向量，，则（）

A. B. C. D.

5.已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（）

A.30° B.60° C.90° D.120°

6.已知正四棱台的上?下底面边长分别为和，且，则该棱台的体积为（）

A. B. C. D.

7.在平行四边形中，点是的中点，点分别满足，设，若，则（）

A. B.

C. D.

8.已知直三棱柱外接球的直径为6，且，，则该棱柱体积的最大值为（）

A.8 B.12 C.16 D.24

二、选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

9.已知关于方程的两根为和，则（）

A. B.

C. D.

10.如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点在同一个平面内，如果四边形是边长为2的正方形，则（）

A.异面直线AE与DF所成角大小为 B.平面平面

C.此八面体一定存在外接球 D.此八面体内切球表面积为

11.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（）

A.若，则M为的重心

B.若M为的内心，则

C.若，，M为的外心，则

D.若M为的垂心，，则

三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共计15分.

12.在中，内角的对边分别是，且，平分交BC于，，，则的面积为___________.

13.如图所示，在直三棱柱中，，，，点是线段上的一动点，则线段的最小值为__________．

14.如图，在矩形中，，点分别在线段上，且，则的最小值为__________．

四、解答题:本大题共5小题，共计77分.解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.如图，在四棱锥中，，，，平面⊥平面.

（1）求证：；

（2）设，求三棱锥的体积.

16.如图，在四棱锥中，底面是边长为2菱形，是等边三角形，，点分别为和的中点.

（1）求证：平面;

（2）求证：平面平面;

17.记的内角，，的对边分别为，，，的面积为.已知.

（1）求；

（2）若点在边上，且，，求的周长.

18.在中，角的对边分别为，已知.

（1）若，求外接圆的面积;

（2）若为锐角三角形，求的取值范围.

19.十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.”它的答案是：“当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.”在费马问题中所求的点称为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且

（1）求；

（2）若，设点为的费马点，求；

（3）设点为的费马点，，求实数的最小值.

广东省深圳市福田中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知i为虚数单位，，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数的除法运算求解.

【详解】解：由，

得，

故选：B

2.已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是

A.若则 B.若，，则

C.若，，则 D.若，，则

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B正确.

考点：空间点线面位置关系．

3.在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可能有

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

【答案】D

【解析】

【分析】结合正方体可得正确的选项.

【详解】如图在正方体中，四棱锥的四个侧面都是直角三角形，