南京航空航天大学矩阵论07-08A试卷及答案.docVIP

一、（20分）设矩阵，

（1）求的特征多项式和的全部特征值；

（2）求的行列式因子、不变因子和初等因子；

（3）求的最小多项式，并计算；

（4）写出的Jordan标准型

二、（20分）设是实数域上的全体实矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。

（1）求的维数，并写出其一组基；

（2）设是全体实对称矩阵的集合，

证明：是的子空间，并写出的维数和一组基；

（3）在中定义内积，其中，求出的一组标准正交基；

（4）给出上的线性变换：，

写出线性变换在（1）中所取基下的矩阵，并求的核和值域。

三、（20分）

（1）设，求，，，；

（2）设，令，

证明：是上的矩阵范数并说明具有相容性；

（3）证明：。

四、（20分）已知矩阵，向量，

（1）求矩阵的分解；

（2）计算；

（3）用广义逆判断方程组是否相容？若相容,求其通解；若不相容,求其极小最小二乘解。五、（20分）

（1）设矩阵，，其中为实数，

问当满足什么条件时，成立？

（2）设阶Hermite矩阵，其中，

证明：，。

（3）已知Hermite矩阵，（），证明：正定

一、（20分）

解：（1），

的特征多项式为，的特征值6分

（2）的行列式因子：1,1,；的不变因子：1,1,；的初等因子：；7分

（3）因为，，的最小多项式；

4分

（4）的Jordan标准形3分

二、（20分）

解：（1）的维数为4，一组基，，，；5分

（2）,，则，；

；。对加法和数乘封闭，所以是的子空间。

的维数为3，一组基，，；5分

（3），；

，；

，。

所以、、为W的一组标准正交基。5分

（4）在（1）中所取基下的矩阵为；的核：；

的值域：。5分

三、（20分）

解：（1），，，；8分

（2）若，则至少有一个，

若，则，，

，

，

所以是上的矩阵范数。

所以是上的相容矩阵范数。8分

（3），

不妨设，则

记,，则,，

，

综上可知：4分

四、（20分）

（1）矩阵的分解：6分

（2）8分

（3）该方程组不相容。

极小最小二乘解6分

五、（20分）

（1），

，，时成立

即时成立。10分

（2），为的前k阶顺序主子式，。

存在可逆矩阵，使得，

，。6分

（3）设是矩阵的任一特征值，相应的特征向量为，令，

则，由，有，

从而

又因为，所以，

由的任意性，可知的所有特征值均为正数，所以正定。4分