2025年算法导论深度解析复习精华.doc

《算法导论》复习笔记

Chapter22基本图算法

有向图邻接链表，计算节点出度和入度的時间复杂度

O(V+E)

开一种degree[]数组，大小為結点个数，复杂度O(V);

遍历邻接链表，通过边uv時，计算出度degree[u]+=1,计算入度degree[v]+=1,复杂度O(E)

将一种多图变成等价无向图，用邻接链表表达，時间复杂度O(V+E)

多图是容許反复边和自循环边的图。

开一种bool数组mark[],大小為节点个数，初始化為false。复杂度O(V)。

对每个顶点u的邻接链表，遍历，令v為u的边所指向的顶点；假如mark[v]=false，将uv加入新图，并将mark[v]设置為true；否则就跳过。复杂度O(E)

再次遍历u的连边，将mark[v]初始化

整体复杂度O(V+E)

伪代码:

SOLVE(G,G’)

1foreachvetexu∈G

2 foreachv∈[u]

3 ifmark[v]==false

4 mark[v]==true

5 Addedge(G’,u,v)

6 foreachv∈[u]

7 mark[v]=false

图G的邻接矩阵表达，給出一种O(V)的算法来判断有向图G中与否存在一种通用汇点。

通用汇点指的是入度|V|-1，但出度為0。

等价问題：給定有向图G的V×V邻接矩阵G，在O(V)時间内判断与否存在一种数k，使得对所有的i有A[i][k]=1,对所有的j有A[k][j]=0,(i≠k,j≠k)

令i和j初值為1，若G[i][j]=0,阐明i到j无边，j不也許是通用汇点，令j=j+1;若G[i][j]=1,阐明i到j有边，i不也許是通用汇点，令i=i+1，循环直到i|V|或者j|V|;若i|V|，则不存在通用汇点，若j|V|，则检查顶点i与否满足规定。

伪代码：

判断与否存在通用汇点O(V)

HAS_UNIVERSL_SINK(G)

1i=j=1

2whilei≤Vandj≤V

3 ifG[i][j]==1

4 i=i+1

5 elsej=j+1

6ifiV

7 returnfalse

8elsereturnCHECK(G,i)

CHECK(G,u)

1foreachvertexv∈

2 ifG[u][v]=1

3 returnfalse

4foreachvertexv∈

5 ifG[v][u]==0u!=v

6 returnfalse

7returntrue

检查点u与否是通用汇点

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计算无向图BFS后的d值和π值

简朴，注意初始节点u的π值写NIL或者写-1

r

s

t

u

v

w

x

y

D值

4

3

1

0

5

2

1

1

π值

s

w

u

NIL

r

t

u

u

输入假如是邻接矩阵表达的，BFS的运行時间

O(V^2)

对于队列中的每一种节点，都要遍历所有的节点来判断与否有边。

举例阐明一种有向图G中也許存在这样一种边集Eπ：s到v的唯一简朴途径也是一条最短途径，不过无论怎样该边集Eπ都不能通过在图G上运行BFS获得。

V={1,2,3,4,5},E={(1,2),(2,3),(1,4),(4,5),(2,5),(3,4)},Eπ={(1,2),(2,3),(1,4),(4,5)},s=1

求一棵树T=(V,E)的直径，并分析算法的运行時间。

直径指的是树中所有最短途径的最大值。

两遍BFS就能处理.

设v任意一点，BFS(v)，令u=v能抵达的最远点。再BFS(u)，取w為u能到达的最远点，则u和w之间的最短途径就是直径。時间复杂度是O(V+E)。

注意本題的证明。反证法，设t1到t2是直径，u是v能到达的最远点，不过u不是t1或者t2中的一种，产生矛盾的結论。

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給出DFS每个結点的发現時间和完毕時间，并給出每条边的分类

q

r

s

t

u

v

w

x

y

z

dis/fin

1/16

17/20

2/7

8/15

18/19

3/6

4/5

9/12

13/14

10/11

qs

sv

vw

ws

qw

qt

tx

xz

zx

ty

yq

ry

uy

ru

树边

树边

树边

后向边

前向边

树边

树边

树边

后向边

树边

后向边

横向边

横向边

树边

用栈实現DFS，写出伪代码

DFS-VISIT(G,u)

1(u)

2while(!

3 u=

4 if==GRAY

5 ==BLACK

6 time=time+1

7 =time

8

9 continue

10 if==WHITE

11 =GRAY

12 time=time+1

13 =