第3章z变换（PPT 精品）.pptx

第三章Z变换

§3.1Z变换的概念与性质

§3.2Z逆变换

§3.3Z变换的应用

主要内容

Fourier变换和Laplace变换是研究连

续时间函数的重要工具，本章将要介绍的

Z变换则是研究离散时间函数的重要工具.

§3.1Z变换的概念与性质

1Z变换的定义

2Z变换的性质

3.1.1Z变换的定义

定义3.1设f(n)(n=0,±1,±2,…)是无限序列.

如果级数在z平面的某一区域内收敛，

其中z为复参变量，则由这个级数所确定的函数

称为序列f(n)的Z变换，记为Z[f(n)].

显然Z变换的定义式是Laurent级数，所以如果

存在收敛域，则为圆环域，且F(z)在圆环域内解析.

序列f(n)(n=0,±1,±2,…)通常称为双边序列.

如果在n0(n≥0)时f(n)=0,则称右(左)边序列.

定理3.1(Z变换存在定理)设M0为常数.如

果存在常数R₁0,使得

f(n)|≤MR₁(n≥0),

则右边序列f(n)的Z变换在

z|R₁

内存在.如果存在常数R₂0,使得

|f(n)|≤MR2(n0),

则左边序列f(n)的Z变换在

z|R₂内存在.如果R₁R₂,且上面两个不等

式都成立，则双边序列f(n)的Z变换

在R₁z|R₂内存在.

证明如果|f(n)≤MR(n≥0),那么

当||R₁时，收敛，则

在z|R₁内存在.

如果|f(n)|≤MR(n0),那么

令k=-n,于：

当R₂时，收敛，于是

在zR₂内存在.

例3.1设序列f(n)=n,其中n是非负整数，

求F(z).

解根据Z变换的定义，当||1时，

下面再给出几个序列Z变换的例子，注意它们

之间的差异.

例3.22设序列,求F(z).

解根据Z变换的定义，当2z|3时，

例3.3设序列

求F(z).

解根据Z变换的定义，当|z|3时，

例3.4设指数序列f(n)=a(n≥0),其中

a≠0为复数，求F(z).

解根据Z变换的定义，当z||a时，

3.1.2Z变换的性质

以下假定所讨论的序列均满足Z变换存在定理

的条件.

(1)线性性质设α,β是常数，F₁(z)=Z[f₁(n)],

F₂(z)=Z[f₂(n)],则

Z[af₁(n)+βf₂(n)]=αF₁(z)+βF

₂(z)=αZ[f₁(n)]+βZ[f₂(n)].

例3.5求正弦序列f₁(n)=sinw,n和余弦序

列f₂(n)=cosw₀n的Z变换，其中n≥0.

解利用线性性质和例3.4,当z1时，

同样可得

(2)位移性质

双边序列的位移性质：设f(n)是双边序列，

F(z)=Z[f(n)],则对整数m,有

Z[f(n±m)]=zF(z).

证明根据Z变换的定义，

●

令k=n±m,于是

右边序列的位移性质：设f(n)是右边序列，

F(z)=Z[f(n)],则对正整数m,有

Z[f(n-m)]=z-F(z)(右移),

(左移).

证明根据Z变换的定义，

●

令k=n-m,于是●

因为f(n)是右边序列，所以

f(k)=0(k=-m,-m+1,…,-1),

同样，对

例3.6求变