2025届高考数学二轮复习微专题13　事件与概率问题.docxVIP

《全品高考第二轮专题》

微专题13事件与概率问题

古典概型、相互独立事件、概率的乘法公式、互斥事件的概率加法公式和对立事件的减法公式,在概率问题中基本都会有体现,一定要注意各类概率运算的条件,即先判断事件的关系,而后要注意通过设事件的形式表述清楚.

1[2024·山东烟台三模]为提高学生对航天科技的兴趣,培养学生良好的科学素养,某学校组织学生参加航天科普知识挑战赛,比赛共设置A,B,C三个问题,规则如下:①每位参赛者计分器的初始分均为50分,答对问题A,B,C分别加10分,20分,30分,答错任一题减10分;②每回答一题,计分器显示累计分数,当累计分数小于40分或答完三个题后累计分数不足80分时,答题结束,挑战失败;当累计分数大于或等于80分时,答题结束,挑战成功;③每位参赛者按问题A,B,C顺序作答,直至答题结束.设甲同学能正确回答出问题A,B,C的概率分别为45,34,12,

(1)求甲同学挑战成功的概率;

(2)用X表示甲同学答题结束时答对问题的个数,求X的分布列和数学期望E(X).

解:(1)用Mi表示事件“甲第i个问题回答正确”(i=1,2,3),Ni表示事件“甲第i个问题回答错误”(i=1,2,3),则P(M1)=45,P(M2)=34,P(M3)=12,P(N1)=15,P(N2)=14,P(

设Q=“甲同学挑战成功”,

则P(Q)=P(M1M2)+P(N1M2M3)+P(M1N2M3)=45×34+15×34×12+45×

即甲同学挑战成功的概率为3140

(2)由题意知,X的可能取值为0,1,2,

P(X=0)=P(N1N2)=15×14=

P(X=1)=P(M1N2N3)+P(N1M2N3)=45×14×12+15×34

P(X=2)=P(M1M2)+P(N1M2M3)+P(M1N2M3)=45×34+15×34×12+45×

所以X的分布列为

X

0

1

2

P

1

7

31

故E(X)=0×120+1×740+2×3140

2[2024·广东东莞模拟]袋中装有大小相同的4个黑球,m个白球,n个黄球.

(1)当m=2,n=0时,从袋中依次不放回地取出3个球,记取出的黑球的个数为X,求X的分布列及数学期望;

(2)当m=4,n=4时,从袋中每次有放回地取出1个球,在第一次取出的是黑球的条件下,求四次以内(含四次)取出三种颜色的球的概率.

解:(1)根据题意,X的可能取值为1,2,3,

则P(X=1)=C41C22C63=15,P(X=2)=C42

所以X的分布列为

X

1

2

3

P

1

3

1

所以E(X)=1×15+2×35+3×1

(2)当m=4,n=4时,袋中有4个黑球,4个白球和4个黄球.

每次有放回地取出黑球、白球、黄球的概率均为13

在第一次取出的是黑球的条件下,三次取出三种颜色的球的概率为P2=2×13×13=

在第一次取出的是黑球的条件下,四次取出三种颜色的球的概率为P3=6×13×13×13=627=29.故在第一次取出的是黑球的条件下,四次以内(含四次)取出三种颜色的球的概率为2