2025届高考数学二轮复习微专题14　随机变量及其分布.docxVIP

《全品高考第二轮专题》

微专题14随机变量及其分布

1.若能够判断变量X服从二项分布,则需根据条件确定n,p,最后依据概率公式和期望、方差公式直接求值.

2.超几何分布的主要特点是总体数较少,可直接应用概率公式进行求解.

3.期望、方差主要应用公式计算求值,或者应用其意义进行优化判断.

1[2024·广州模拟]小李参加了一个红包接龙游戏:他在红包里塞了24元,然后发给朋友A,如果A猜中红包里的金额,那么A将获得红包里的金额;如果A未猜中红包里的金额,那么A将当前的红包转发给朋友B,如果B猜中红包里的金额,那么A,B平分红包里的金额;如果B未猜中红包里的金额,那么B将当前的红包转发给朋友C,如果C猜中红包里的金额,那么A,B,C平分红包里的金额;如果C未猜中红包里的金额,红包里的金额将退回小李的账户.设A,B,C猜中的概率分别为13,12,13,且A,B,C

(1)求A恰好获得8元的概率;

(2)设A获得的金额为X元,求X的分布列及数学期望.

解:(1)若A恰好获得8元红包,则结果为A未猜中,B未猜中,C猜中,

故A恰好获得8元的概率为23×12×13

(2)X的可能取值为0,8,12,24,

P(X=0)=23×12×23

P(X=8)=23×12×13

P(X=12)=23×12=13,P(X

所以X的分布列为

X

0

8

12

24

P

2

1

1

1

所以E(X)=0×29+8×19+12×13+24×1

2[2024·长沙模拟]要获得某项英语资格证书必须依次通过听力和笔试两项考试,只有听力成绩合格时,才可继续参加笔试.已知听力和笔试各自允许有一次补考机会,两项成绩均合格方可获得证书.现某同学参加这项证书考试,根据以往模拟情况,听力考试成绩每次合格的概率均为23,笔试成绩每次合格的概率均为12,假设该同学各次考试成绩合格与否互不影响

(1)求该同学不需要补考获得证书的概率;

(2)求该同学恰好补考一次获得证书的概率;

(3)在这项考试过程中,假设该同学不放弃所有的考试机会,记他参加考试的次数为X,求X的数学期望.

解:设“听力第一次考试成绩合格”为事件A1,“听力补考成绩合格”为事件A2,“笔试第一次考试成绩合格”为事件B1,“笔试补考成绩合格”为事件B2.

(1)不需要补考获得证书为事件A1B1,

则P(A1B1)=P(A1)·P(B1)=23×12=

(2)恰好补考一次获得证书为事件A1A2B1+A1B1B

则P(A1A2B1+A1B1B2)=P(A1A2B1)+P(A1B1B2)=13×23×12+2

(3)由题可知,X的可能取值为2,3,4,

P(X=2)=P(A1B1)+P(A1A2)=23×12+1

P(X=3)=P(A1B1B2)+P(A1B1B2)+P(A1A2B1)=23×12×12+23×12×

P(X=4)=P(A1A2B1B2)+P(A1A2B1B2)=13×23×12×12+

所以X的数学期望E(X)=2×49+3×49+4×19

3[2024·南宁模拟]正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量X,定义其累积分布函数为F(x)=P(X≤x).

(1)已知随机变量X服从正态分布N(40,4),且X的累积分布函数为F(x),求F(42)-F(36).

(2)在数理统计中,指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量T服从指数分布,其累积分布函数为G(t)=0,t0,1-14t,t≥0.设t1t20,证明:P(Tt1|Tt

附:若随机变量Y服从正态分布N(μ,σ2),则P(|Y-μ|≤σ)≈0.6827,P(|Y-μ|≤2σ)≈0.9545,P(|Y-μ|≤3σ)≈0.9973.

解:(1)由题得P(38≤X≤42)≈0.6827,P(36≤X≤44)≈0.9545,

所以F(42)-F(36)=P(X≤42)-P(X≤36)=P(36X≤42)≈12×(0.6827+0.9545)=0.8186

(2)证明:因为P(Tt1|Tt2)=P(Tt1)P(Tt

P(Tt1-t2)=1-P(T≤t1-t2)=1-G(t1-t2)=4t2-t1,所以P(Tt1|Tt2)=P(Tt1

4某种药材的种植加工过程受天气、施肥、管理等因素影响,农户按照药材质量将该种药材分为上等药材、中等药材、普通药材,并分类装箱.已知某农户去年生产了8箱该种药材,其中上等药材2箱,中等药材2箱,普通药材4箱.

(1)若在该农户去年生产的该种药材中随机抽取4箱,设X为其中上等药材的箱数,求X的分布列和数学期望.

(2)已知每箱药材的利润如下表:

等级

上等药材

中等药材

普通药材

利润(元/箱)

4000

2000

-1200