2025届高考数学二轮复习微专题18　直线与圆锥曲线的位置关系.docxVIP

《全品高考第二轮专题》

微专题18直线与圆锥曲线的位置关系

求解直线与圆锥曲线的位置关系时,常用到根与系数的关系,但有时也会有联立后不结合根与系数的关系的情况,而是直接求解点的坐标,利用点的坐标表示直线或斜率.有关取值范围的问题,求解过程中除了通过讨论直线位置确定最值,也会结合不等式或函数等求解最值.

1[2024·四川乐山三模]已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,A,C分别是椭圆E的上、下顶点,B,D分别是椭圆E的左、右顶点,点P1,32在椭圆E上,且

(1)求椭圆E的方程;

(2)点Q是椭圆E上的动点(不与A,B,C,D重合),l是E在点A处的切线,直线AB交DQ于点M,直线CQ交l于点N,求证:直线MN的斜率为定值.

解:(1)∵S△PF1F2=12×2c×32=

∵点P1,32在椭圆

∴1a2+34a2-3=1,解得a2=4或

∵a2-b2=3,∴b2=1,∴椭圆E的方程为x24+y2

(2)证明:易知直线DQ的斜率不为0,设直线DQ的方程为x=ty+2,Q(x0,y0),

易知直线AB的方程为x-2y+2=0,由AB与DQ有交点可得t≠2.

由x-2y+2=0

由x24+y2=1,x=ty

∵D(2,0),∴y0=-4tt2+4,∴x0=

∵kCQ=-1--4tt2+40--2

令y=1,得x=4(t+2)2-t,可得N4(t+2)

故直线MN的斜率为定值.

2已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)

(1)求双曲线C的方程;

(2)若直线l与双曲线C交于A,B两点,且OA·OB=0(O为坐标原点),求|AB|的取值范围.

解:(1)由题意可得4a2-9b2=1,a2+

(2)当直线l的斜率不存在时,可设A(xA,yA),B(xA,-yA),

则OA=(xA,yA),OB=(xA,-yA),xA2-

又OA·OB=xA2-yA2=0,所以yA=±62,此时|AB|=2|

当直线l的斜率存在时,设其方程为y=kx+m,设A(x1,y1),B(x2,y2),

由y=kx+m,x2-y23=1,

所以3

因为OA·OB=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)

=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)-m2-33-k

所以3k2+3=2m2,此时Δ=6(k2+9)0,

所以|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2·

1+k212(m

当k=0时,|AB|=6;当k≠0时,|AB|=61+

因为3-k2≠0,所以k2+9k22k2·

此时|AB|=61+16k2+9k2-6