第51讲 立体几何中的截面问题（解析版）-2025年高考数学必刷题5000题.pdf

51第讲立体几何中的截面问题

解决立体几何截面问题的解题策略．知识梳理

1、坐标法

所谓坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将几何问题转化为坐标运算问题，为解决立

体几何问题增添了一种代数计算方法．

2、基底法

所谓基底法是不需要建立空间直角坐标系，而是利用平面向量及空间向量基本定理作为

依托，其理论依据是：若四点E、F、G、H共面，P为空间任意点，则有：

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结论1：若EG与EH不共线，那么EF=λEG+μEH；

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结论2：PE=λPF+μPG+ηPH(λ+μ+η=1)．

3、几何法

从几何视角人手，借助立体几何中的线线平行、线面平行、面面平行的性质与判定定理以

及平面几何相关定理、结论，通过论证，精准找到该截面与相关线、面的交点位置、依次连接这

些点，从而得到过三点的完整截面，再依据题意完成所求解答或证明．

必考题型全归纳

1题型一：截面作图

2546(2024·全国·高一专题练习)如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为6，M是AB的

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中点，点N在棱CC上，且CN=2NC.作出过点D，M，N的平面截正方体ABCD-

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ABCD所得的截面，写出作法；

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【解析】如图所示，五边形DQMFN即为所求截面.

作法如下：连接DN并延长交DC的延长线于点E，

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连接ME交BC于点F，交DA的延长线于点H，

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连接DH交AA于点Q，连接QM，FN，1

所以五边形DQMFN即为所求截面.

2547(2024·江苏·高一专题练习)如图，棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，E，F分别

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是棱AA，CC的中点，过E作平面α，使得α⎳平面BDF.11

(1)作出α截正方体ABCD-ABCD所得的截面，写出作图过程并说明理由；

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(2)求平面α与平面BDF的距离.

【解析】(1)连接BD,EB,ED，由正方体性质可得BD⎳BD，BF⎳ED；

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又BF∩BD=B，所以平面EBD⎳平面BDF；

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因为α⎳平面BDF，且E∈α，所以平面EBD与平面α重合，即平面EBD就是α截正

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方体ABCD-ABCD所得的截面.

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(2)由(1)可知平面α与平面BDF的距离等于点B到平面BDF的距离；1

设点B到平面BDF的距离为d，由题意可得BD=22,BF=DF=5，所以△BDF的

1

面积为6；△BBF的面积为2；1

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由B