第60讲：直线与圆、圆与圆的位置关系（原卷版）-2025年高考数学必刷题5000题.pdf

60第讲直线与圆、圆与圆的位置关系

一．直线与圆的位置关系知识梳理

直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交

二．直线与圆的位置关系判断

(1)几何法(圆心到直线的距离和半径关系)|Aa+Bb+C|

圆心(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离，则d=22：

A+B

22

dr⇔直线与圆相交，交于两点P,Q，|PQ|=2r-d；

d=r⇔直线与圆相切；

dr⇔直线与圆相离

(2)代数方法(几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数)

Ax+By+C=0

由，

222

(x-a)+(y-b)=r22

消元得到一元二次方程px+qx+t=0，px+qx+t=0判别式为Δ，则：

Δ0⇔直线与圆相交；

Δ=0⇔直线与圆相切；

Δ0⇔直线与圆相离．

三．两圆位置关系的判断

用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：

设两圆O,O的半径分别是R,r，(不妨设Rr)，且两圆的圆心距为d，则：

12

dR+r⇔两圆相交；

d=R+r⇔两圆外切；

R-rdR+r⇔两圆相离

d=R-r⇔两圆内切；

0≤dR-r⇔两圆内含(d=0时两圆为同心圆)

设两个圆的半径分别为R，r，Rr，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：

位置关系相离外切相交内切内含

几何特征dR+rd=R+rR-rdR+rd=R-rdR-r

代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解

公切线条数43210

【解题方法总结】

关于圆的切线的几个重要结论

2222

(1)过圆x+y=r上一点P(x,y)的圆的切线方程为xx+yy=r．

0000

222

(2)过圆(x-a)+(y-b)=r上一点P(x,y)的圆的切线方程为

00

(x-a)(x-a)+(y-b)(y-b)=r02

0

22

(3)过圆x+y+Dx+Ey+F=0上一点P(x,y)的圆的切线方程为

00

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xx+yy+D⋅x+x0+E⋅y+y0+F=0

0022

222

(4)求过圆x+y=r外一点P(x,y)的圆的切线方程时，应注意理解：

①所求切线一定有两条；00

②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为y-y=k(x-