第68讲 曲线的轨迹方程（解析版）-2025年高考数学必刷题5000题.pdf

68第讲曲线的轨迹方程

一．直接法求动点的轨迹方程知识梳理

利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：

(1)建系：建立适当的坐标系

(2)设点：设轨迹上的任一点Px,y



(3)列式：列出有限制关系的几何等式

(4)代换：将轨迹所满足的条件用含x,y的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转

化为x,y的方程式化简

(5)证明(一般省略)：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程(对某些特殊值应另外

补充检验)．简记为：建设现代化，补充说明．

注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线．

二．定义法求动点的轨迹方程

回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点P和满足焦点标志的

定点连起来判断．熟记焦点的特征：(1)关于坐标轴对称的点；(2)标记为F的点；(3)圆心；

(4)题目提到的定点等等．当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点

特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程．

三．相关点法求动点的轨迹方程

如果动点P的运动是由另外某一点P的运动引发的，而该点的运动规律已知，(该点坐



标满足某已知曲线方程)，则可以设出P(x,y)，用(x,y)表示出相关点P的坐标，然后把P的

坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程．

四．交轨法求动点的轨迹方程

在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先

解方程组得出交点(含参数)的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法

并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数．

五．参数方程法求动点的轨迹方程

动点M(x,y)的运动主要是由于某个参数φ的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数

x=f(φ)

表示动点的坐标，即，再消参.





y=g(φ)

六．点差法求动点的轨迹方程

圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点A

(x,y),B(x,y)的坐标代入圆锥曲线方程，两式相减可得x+x，y+y，x-x，y-y等

112212121212

关系式，由于弦AB的中点P(x,y)的坐标满足2x=x+x，2y=y+y且直线AB的斜率

为y-y21，由此可求得弦AB中点的轨迹方程．1212

x-x21必考题型全归纳

1题型一：直接法

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3847(2024·甘肃平凉·高三统考期中)动点P与定点A(-1,0),B1,0的连线的斜率之积为



-1，则点P的轨迹方程是.

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【答案】x+y=1(x≠±1)

【解析】由题意可知：PA⊥PB，则点P的轨迹是以AB为直径的圆(A,B除外)，

即以AB的中点O0,0为圆心，半径为1的圆，



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