专题04 三角形的中位线与反证法（六大题型）（题型专练）（解析版）.docx

专题04三角形的中位线与反证法（六大题型）

【题型1与三角形中位线有关的求解问题】

【题型2三角形中位线与三角形面积问题】

【题型3与三角形中位线有关的证明】

【题型4三角形中位线的实际应用】

【题型5反证法证明中假设】

【题型6用反证法证明命题】

【题型1与三角形中位线有关的求解问题】

1．如图，在△ABC中，D和E分别为所在边的中点，若DE=3，则AC的长为（???）

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】A

【分析】本题考查了三角形的中位线定理，掌握“三角形中位线平行且等于底边的一半”是解题关键．利用中位线的性质求解即可．

【详解】解：∵在△ABC中，D和E分别为所在边的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE=1

∵DE=3，

∴AC=6，

故选：A．

2．已知D，E，F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为3，则△ABC的周长为（????）

A．12 B．9 C．6 D．3

【答案】C

【分析】本题考查三角形的中位线定理，根据三角形的中位线定理，进行求解即可．

【详解】解：∵D，E，F分别为△ABC三边的中点，

∴DE,EF,DF为△ABC的中位线，

∴DE,EF,DF分别为△ABC三边长的一半，

∵△DEF的周长为3，

∴DE+EF+DF=3，

∴△ABC的周长=2DE+2EF+2DF=2DE+EF+DF

故选C．

3．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，分别交BC、AC于点D、E，且△ABD是边长为6的等边三角形，则DE的长为（???）

A．2 B．52 C．3 D．

【答案】C

【分析】本题考查等边三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形中位线的性质，先根据垂直平分线得到AD=DC，AE=EC，然后根据等边三角形得到BD=AB=AD，即可得到BD=CD，然后根据三角形的内角和定理解题即可．

【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，

∴AD=DC，AE=EC，

又∵△ABD是等边三角形，

∴BD=AB=AD=6，

∴BD=CD，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE=1

故选：C．

4．如图，在四边形ABCD中，点M是对角线BD的中点，点E、F分别是边AB、CD的中点，AD=BC，∠EMF=132°，则

A．66° B．48° C．38° D．24°

【答案】D

【分析】本题考查了三角形中位线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由题意可得EM是△ABD的中位线，FM是△BCD的中位线，得到EM=12AD，FM=12

【详解】解：∵点M是对角线BD的中点，点E、F分别是边

∴EM是△ABD的中位线，FM是△BCD的中位线，

∴EM=12AD

∵AD=BC，

∴EM=FM，

∴∠MFE=∠MEF，

∵∠EMF=132°，

∴∠MFE=∠MEF=180°-132°

故选：D．

5．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点，且AF⊥BF，若EF=2，AB=6，则BC=（????）

A．8 B．10 C．12 D．14

【答案】B

【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线的性质求出DF，进而求出DE，根据三角形中位线定理解答即可．

【详解】解：在Rt△AFB中，∠AFB=90°，D是AB的中点，AB=6

∴DF=1

∴DE=DF+EF=5，

∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴BC=2DE=10，

故选：B．

6．如图，在△ABC中，BA=BC=5,AC=6，点D，点E分别是BC,AB边上的动点，连结DE，点F，点M分别是CD,DE的中点，则FM的最小值为（）

A．125 B．95 C．3 D

【答案】A

【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质及三角形中位线定理，正确得出CE的最小值是解题的关键．过点B作BH⊥AC于H，连接CE；当CE取最小值时，FM的值最小，由垂线段最短可知，当CE⊥AB于点E时，CE的值最小，利用等腰三角形三线合一的性质求出BH的长，进而利用三角形等面积法求解即可．

【详解】解：如图，过点B作BH⊥AC于H，连接CE；

??

∵F，M分别是CD,DE的中点，

∴FM=1

当CE取最小值时，FM的值最小，

由垂线段最短可知，当CE⊥AB于点E时，CE的值最小，

在△ABC中，BA=BC=5,AC=6，

∴CH=1

∴BH=B

∴S△ABC

∴CE=24

∴FM=12

故选：A．

7．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，连接BE，DE．若∠AED=∠BEC，DE=4，则BE的长为．

【答案】8

【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线