第90讲：事件的相互独立性、条件概率与全概率公式（原卷版）-2025年高考数学必刷题5000题.pdf

90第讲事件的相互独立性、条件概率与全概率公式

知识点1、条件概率

(一)定义P(AB)

一般地，设A，B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)=P(A)为在事件A发生的条件

下，事件B发生的条件概率．

注意：(1)条件概率P(B|A)中“|”后面就是条件；(2)若P(A)=0，表示条件A不可能发

生，此时用条件概率公式计算P(B|A)就没有意义了，所以条件概率计算必须在P(A)0的

情况下进行．

(二)性质

(1)条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1．

(2)必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0．

(3)如果B与C互斥，则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)．

注意：(1)如果知道事件A发生会影响事件B发生的概率，那么P(B)≠P(B|A)；

(2)已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的基

nAB



nABnΩPAB



本事件空间计算AB发生的概率，即P(B|A)=nA=nA=PA．



nΩ

知识点2、相互独立与条件概率的关系

(一)相互独立事件的概念及性质

(1)相互独立事件的概念

对于两个事件A，B，如果P(B|A)=P(B)，则意味着事件A的发生不影响事件B发生的

概率．设P(A)0，根据条件概率的计算公式，P(B)=P(B|A)=P(AB)，从而P(AB)=P

(A)P(B)．P(A)

由此我们可得：设A，B为两个事件，若P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互

独立．

(2)概率的乘法公式

由条件概率的定义，对于任意两个事件A与B，若P(A)0，则P(AB)=P(A)P(B|A)．

我们称上式为概率的乘法公式．

(3)相互独立事件的性质

如果事件A，B互相独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立．

(4)两个事件的相互独立性的推广*

两个事件的相互独立性可以推广到n(n2，n∈N)个事件的相互独立性，即若事件

A，A，⋯，A相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(AA⋯A)=P(A)(A)⋯P

12n12n12

(A)．

n(二)事件的独立性

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(1)事件A与B相互独立的充要条件是P(AB)=P(A)⋅P(B)．

(2)当P(B)0时，A与B独立的充要条件是P(A|B)=P(A)．

(3)如果P(A)0，A与B独立，则P(B|A)=P(AB)=P(A)⋅P(B)=P(B)成立．

知识点3、全概率公式