第91讲 离散型随机变量的分布列与数字特征（解析版）-2025年高考数学必刷题5000题.pdf

91第讲离散型随机变量的分布列与数字特征

知识点一．离散型随机变量的分布列知识梳理

1、随机变量

在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．

在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变

量称为随机变量．随机变量常用字母X，Y，ξ，η，⋯表示．

注意：

(1)一般地，如果一个试验满足下列条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所

有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，

但在一次试验之前不能确定这次试验会出现哪个结果．这种试验就是随机试验．

(2)有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数来表示．如掷一枚硬币，X=0表

示反面向上，X=1表示正面向上．

(3)随机变量的线性关系：若X是随机变量，Y=aX+b，a，b是常数，则Y也是随机变量．

2、离散型随机变量

对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量．

注意：

(1)本章研究的离散型随机变量只取有限个值．

(2)离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：①如果随机变量的可能取值是某一区

间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量；②离散型随机变量与连续型随机变量都

是用变量表示随机试验的结果，但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连

续型随机变量的结果不能一一列出．

3、离散型随机变量的分布列的表示

一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x，x，⋯，x，⋯，x，X取每一个值x(i=

12ini

1，2，⋯，n)的概率P(X=x)=p，以表格的形式表示如下：ii

Xxx⋯x⋯x

12in

Pp1p2⋯pi⋯pn

我们将上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时为了简单起见，

也用等式P(X=x)=p，i=1，2，⋯，n表示X的分布列．ii

4、离散型随机变量的分布列的性质

根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：

(1)p≥0，i=1，2，⋯，n；(2)p+p+⋯+p=1．

注意：i12n

数．①性质(2)可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参

②随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概

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率．知识点二．离散型随机变量的均值与方差

1、均值

若离散型随机变量X的分布列为

Xxx⋯x⋯x

12in

Pp1p2⋯pi⋯pn

称E(X)=xp+xp+⋯+xp+⋯+xp=1为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离

1122iinn

散型随机变量取值的平均水平．

注意：(1)均值E(X)刻画的是X取值的“中心位置”，这是随机变量X的一个重要特征；

(2)根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值．但反过来，两个不同的分布

可以有相同的均值．这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值．而

均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性

质．2、均值的性质

(1)E(C)=C(C为常数)．

(2)若Y=aX+b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E