2025版高中数学专题强化练3正余弦定理的综合应用含解析北师大版必修5.docxVIP

PAGE

PAGE6

专题强化练3正、余弦定理的综合应用

一、选择题

1.(2024湖北武汉三校高一下期中联考,)已知在△ABC中,a=5,A=π3,b+c=2bc,则△ABC的面积为()

A.58B.

C.3D.5

2.()在△ABC中,三边上的高依次为113,15,111,则△ABC为 (

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.不存在这样的三角形

3.()在△ABC中,∠BAC=π6,AB=33,AC=3,点D在边BC上,且CD=2BD,则AD=()

A.19B.21

C.5D.27

4.()在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,且sinA+cosA=3-12,a=7,3sinB=5sinC,则b+c= (

A.12B.83

C.82D.8

5.(2024安徽示范中学培优联盟高二上秋季联赛,)在△ABC中,内角A、B、C对应的边分别为a、b、c,且a=3,3sinC=(sinB+3cosB)sinA,则c的最大值为 ()

A.2B.1

C.32

二、填空题

6.()已知△ABC的三个内角A,B,C满意2B=A+C,且AB=1,BC=4,则BC边上的中线AD的长为.?

7.(2024广东湛江一中高二期末,)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边.若a=2bcosC,则此三角形肯定是.?

8.()已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2c,sinA+2sinC=2sinB,则cosA=.?

三、解答题

9.(2024天津南开高三上期中,)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知sinA∶sinB∶sinC=7∶8∶3.

(1)求角A;

(2)求cos(2B-A)的值.

10.(2024广东湛江一中高二期末,)已知f(x)=3·sinx2cosx2+cos2x

(1)若f(α)=1,求cos2α+

(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满意(2b-a)cosC=ccosA,求f(B)的取值范围.

11.(2024河南商丘九校高二期末联考,)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(2b-c)cosA=acosC.

(1)求角A的大小;

(2)若点D满意AD=2AC,且BD=3,求c+2b的取值范围.

答案全解全析

专题强化练3正、余弦定理的综合应用

一、选择题

1.D由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc=2(bc)2-3bc=5,解得bc=52(bc=-1舍去

所以S△ABC=12bcsinA=12×52×3

2.C设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,113,15,111分别为a,b,c上的高.因为S△ABC=12a×113=12b×15=12c×111,所以可设a=13k,b=5k,c=11k(k0).由余弦定理的推论,得cosA=(5k)2+(

3.A设AD=x(x0).因为BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos∠BAC=27+9-2×33×3×32=9,所以BC=3,所以BD=1,CD=2

解法一:因为cos∠ADB=cos(π-∠ADC),即cos∠ADB=-cos∠ADC,所以x2+1-272x=-x2+4-94x,

解法二:因为AC=BC=3,∠BAC=π6,所以∠BCA=2π3,所以x2=AC2+CD2-2AC×CD×cos∠BCA=32+22-2×3×2×cos2π3=19,故x=19(负值舍去),即AD

4.D由sinA+cosA=3-12两边平方,并化简得1+sin2A=2-32,解得sin2A=-32.因为0Aπ,所以02A2π,所以A=2π3或A=5π6.由sinA+cos

由3sinB=5sinC,得3b=5c①.

又由余弦定理,得49=b2+c2-2bccos2π3,即b2+c2+bc=49②

由①②,得b=5,c=3,所以b+c=8,故选D.

5.A因为3sinC=(sinB+3cosB)sinA,所以3c=(sinB+3cosB)·a=(sinB+3cosB)·3,所以c=sinB+3cosB=2sinB+π3,因为B为△ABC的内角,所以0Bπ,则π3B+π34π3,所以当B+π3=π2,即B=π

二、填空题

6.答案3

解析∵2B=A+C,∴A+B+C=3B=180°,

∴B=60°.∵BC=4,∴BD=2.

∴在△ABD中,

AD=A

=12