每日一题·拓展练2025.03.31-4.3.pdf

『拓展练03.31』姓名：____________学号：___________

1．综合与实践

折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB，AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE，AF，连接EF，

如图①．

（1）∠EAF＝°，写出图中两个等腰三角形：（不需要添加字母）；

转一转：将图①中的∠EAF绕点A旋转．使它的两边分别交边BC，CD于点P，Q，连接PQ，如图②．

（2）线段BP，PQ，DQ之间的数量关系为；

剪一剪：将图中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图③．

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（3）求证：BM+DN＝MN；

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【分析】（1）利用翻折变换的性质可得∠EAF＝45°，证明△BAE≌△DAF（ASA），推出BE＝DF，AE＝AF，可得结论；

（2）结论：PQ＝BP+DQ．如图2中，延长CB到T，使得BT＝DQ．证明△PAT≌△PAQ（SAS），可得结论；

（3）将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABR，连接RM．证明△AMR≌△AMN（SAS），∠RBM＝90°，可得结论；

【解答】（1）解：如图①中，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD＝BC＝CD，∠BAD＝90°，

∴△ABC，△ADC都是等腰三角形，

∵∠BAE＝∠CAE，∠DAF＝∠CAF，

∴∠EAF＝（∠BAC+∠DAC）＝45°，

∵∠BAE＝∠DAF＝22.5°，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，

∴△BAE≌△DAF（ASA），

∴BE＝DF，AE＝AF，

∵CB＝CD，

∴CE＝CF，

∴△AEF，△CEF都是等腰三角形，

故答案为：45，△AEF，△EFC，△ABC，△ADC；

（2）解：结论：PQ＝BP+DQ，

理由：如图②中，延长CB到T，使得BT＝DQ．

∵AD＝AB，∠ADQ＝∠ABT＝90°，DQ＝BT，

∴△ADQ≌△ABT（SAS），

∴AT＝AQ，∠DAQ＝∠BAT，

∵∠PAQ＝45°，

∴∠PAT＝∠BAP+∠BAT＝∠BAP+∠DAQ＝45°，

∴∠PAT＝∠PAQ＝45°，

∵AP＝AP，

∴△PAT≌△PAQ（SAS），

∴PQ＝PT，

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∵PT＝PB+BT＝PB+DQ，

∴PQ＝BP+DQ．

故答案为：PQ＝BP+DQ；

（3）证明：如图③中，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABR，连接RM．

∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°，

∴∠DAN+∠BAM＝45°，

∵∠DAN＝∠BAR，

∴∠BAM+∠BAR＝45°，

∴∠MAR＝∠MAN＝45°，

∵AR＝AN，AM＝AM，

∴△AMR≌△AMN（SAS），

∴RM＝MN，

∵∠D＝∠ABR＝∠ABD＝45°，

∴∠RBM＝90°，

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∴RM＝BR+BM，

∵DN＝BR，MN＝RM，

222

∴BM+DN＝MN；

【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质

等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

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『拓展练04.01』姓名：____________学号：___________

（1）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）

的结论证明：GE＝BE+GD；

（2）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，