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【高考数学】专题1-用导数研究含参函数的单调性（原卷版）

专题1用导数研究含参函数的单调性

一、考情分析

函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用，可以

说在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题,这是因为单调性是解决后续问题的关键，单调性

在研究函数图像、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关重要的

作用.函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而含有参数的函数单调性的讨论与应用更是高考

中的热点难点.

二、解题秘籍

连续函数单调区间的分界点就是函数的极值点,也就是导函数的零点，即方程fx0的根,所以求解含



参函数的单调性问题，一般要根据fx0的根的情况进行分类,分类时先确定导函数是一次型、二次型



还是其他类型

1。若导函数是一次型,分类步骤是:①判断是否有根,若没有根,会出现恒成立的情况；②若有根,求出

fx0导的根,并判断根是否在定义域内；若根不在定义域内会出现恒成立的情况；



③若根在定义域内，会出现两个单调区间,根据导函数的正负，确定单调性;

2．若导函数是二次型，分类步骤是:

①先判断二次型函数是否有根，若没有根,会出现恒成立的情况;②判断根是否在定义域内，若仅有一个根

在定义域内,会出现两个单调区间,根据导函数的正负，确定单调性；

③若两个根都在定义域内，需要根据两个根的大小进行讨论，当根的大小确定后，再讨论每个单调区间上

的单调性。

3.若导函数是三角函数类型,需要借助三角函数的单调性及有界性进行讨论

下面我们根据fx0的根的情况总结出１１类题型及解法，帮助同学们掌握这类问题的求解方法．



类型一：fx定义域不是Rfx0可化为单根型一次方程



思路：根据根是否在定义域内进行分类

【例1】讨论fxx1alnx的单调性



xa

分析：fxx0,fx0根的情况转化为xa0x0根的情况



x

a0，+

根据是否在定义域内进行分类

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【高考数学】专题1-用导数研究含参函数的单调性（原卷版）

答案：

（1)a0,fx0,fx在0，+上是增函数;



（２)a0,fx在0,a上是减函数,在a，+上是增函数．



类型二：fx定义域不是R,fx0可化为单根型类一次方程



思路：根据方程是否有根及根是否在定义域内进行分类

【例2】讨论fxax1alnx+1的单调性



ax1a



分析:fxx0,fx0根的情况转化为ax1a0在0，+上根的情况。

