2025版新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.2第1课时对数函数的图象和性质学案新人教A版必修.docxVIP

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对数函数的图象和性质

课标解读

课标要求

素养要求

1.能用描点法画出详细对数函数的图象.

2.知道对数函数y=logax（a0，且a≠1）与指数函数y=ax

3.通过学习对数型函数，加深理解分类探讨、数形结合这两种重要数学思想的意义和作用.

1.数学运算——会求对数型函数的单调区间和值域.

2.逻辑推理——能驾驭对数函数的性质，会解决简洁的与性质有关的问题.

第1课时对数函数的图象和性质

自主学习·必备学问

教材研习

教材原句

要点一对数函数的图像与性质

底数互为①倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.

一般地，对数函数的图象和性质如表所示，

0a1

a1

图象

定义域

(0,+∞)

值域

R

性质

过定点②(1,0)，即x=1时，y=0

减函数

③增函数

要点二反函数

一般地，指数函数④y=ax（a0，且a≠1）与对数函数y=logax

自主思索

1.函数y=log2x

答案：提示函数y=log2x与y=

2.对数函数图象的“上升”和“下降”与a有怎样的关系？

答案：提示当a1时，对数函数的图象“上升”；当0a1时，对数函数的图象“下降”.

3.若函数y=ex的定义域是

答案：提示[3,+∞).

名师点睛

有关对数型函数图象问题的应用技巧

（1）求函数y=m+logaf(x)（a0，且a≠1）的图象所过的定点坐标时，只需令f(x)=1，求出x

（2）给出函数解析式推断函数的图象时，应首先考虑函数对应哪种基本初等函数，其次找出函数图象的特别点，推断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等，最终综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目常采纳解除法.

（3）依据对数函数的图象推断底数大小的方法：作直线y=1与所给的图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数渐渐变大，可比较底数的大小.

互动探究·关键实力

探究点一对数函数单调性的应用

精讲精练

例1若y=log(2a-3)x在(0,+∞)

答案：(2,+∞)

解析：由题意得，2a-31，解得a2.

例2比较下列各组值的大小：

（1）log534

（2）log132

答案：（1）因为log5

log543

（2）log13

又对数函数y=log2x在(0,+∞)

所以0log

所以1log21

解题感悟

比较对数式的大小时常用的方法

（1）同底数的对数式，干脆利用对数函数的单调性.

（2）同真数的对数式，利用对数函数的图象或用换底公式转化.

（3）底数和真数都不同的对数式，找中间值.

（4）若底数为同一参数的对数式，则依据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类探讨.

迁移应用

1.已知函数f(x)=(a-2)x-1,x≤1,logax,x1,若f(x)

答案：{a|2a≤3}

解析：由题意得a-20,

解得2a≤3.

2.比较下列各组值的大小：

（1）log230.5，log

（3）log0.57，log0.6

答案：（1）因为函数y=log23x在(0,+∞)上是减函数，且

（2）因为函数y=log1.5x在(0,+∞)上是增函数，且1.61.4

（3）因为0log70.6log7

（4）因为log3πlog3

探究点二对数型函数的图象

精讲精练

例函数f(x)=log

A.B.C.D.

答案：C

解析：∵函数f(x)=log

∴f(x)的图象关于y轴对称，

当x0时，f(x)=log

当x0时，f(x)=log

又∵函数f(x)的图象过(1,1)，(-1,1)两点，∴结合选项可知选项C中的图象符合题意.

解题感悟

对数函数图象的特点

（1）底数大于1，图象呈上升趋势；底数大于0且小于1，图象呈下降趋势.

（2）在第一象限内，各图象对应的对数函数的底数顺时针增大.

迁移应用

1.对数函数y=logax（a0，且a≠1）的图象如图所示，已知a分别取3，43，35，110，则与c1，c

A.3，43，35，110B.3，43

C.43，3，35，110D.43，3

答案：A

2.已知函数y=loga(x+c)（a，为常数，其中a0

A.a1，c1B.a1，0c1

C.0a1，c1D.0a1，0c1

答案：D

探究点三定点问题

精讲精练

例若a0，且a≠1，则函数y=log

答案：(2,1)

解析：令loga(x-1)=0，得x-1=1，即x=2，此时y=1，所以y=

解题感悟

对数函数y=logax（a0，且a≠1）的图象恒过定点(1,0)，即x=1时