2025版新教材高中数学第一章空间向量与立体几何4.1第3课时空间中直线平面的垂直学案新人教A版选择.docxVIP

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第3课时空间中直线、平面的垂直

课标解读

课标要求

素养要求

1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.

2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理.

1.数学抽象——会表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.

2.逻辑推理——能够判定直线、平面的垂直关系.

3.数学运算——会用空间向量的坐标运算，证明直线、平面的垂直关系.

自主学习·必备学问

教材研习

教材原句

一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直.

自主思索

1.若两条直线的方向向量的数量积为0，则这两条直线肯定垂直吗？

提示不肯定，非零向量数量积为零时，两向量垂直零向量与任何向量的数量积都为零，两向量不肯定垂直.

2.两个平面的法向量垂直是两个平面垂直的什么条件？

提示充要条件.

名师点睛

1.线线垂直

（1）设直线l1,l2的方向向量分别为

（2）设直线l1的方向向量为a=(a1,a2

2.线面垂直

（1）设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α?u∥n

（2）设直线l的方向向量是a=(a1,b1,

3.面面垂直

（1）设平面α,β的法向量分别为n1,n

（2）若平面α的法向量为u=(a1,b1

互动探究·关键实力

探究点一证明线线垂直

自测自评

1.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°,AB=AC=3,A1A=4,过点A1

答案：证明∵AB=AC,E为BC的中点，

∴AE⊥BC.

易知A1E⊥平面

∴AE,A

故以E为原点，AE,BC,A1E所在直线分别为x轴，y

又AB=AC=3,∠BAC=

∴BC=

∴A

∴

A

∴A

又A1D与

∴A1D

2.已知在正方体ABCD-ABCD中，点

答案：证明设正方体的棱长为1，以A为原点，AB,AD,AA所在直线分别为x轴、y轴、

则M(1,0,

∴MN

∵MN

MN?

解题感悟

用向量法证明直线l1与l2垂直，取l1、l2的方向向量分别为e1，e

探究点二证明线面垂直

精讲精练

例在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，

答案：证明以点D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系

设正方体ABCD-A

则A

∴

设平面GBD的法向量为n=(x,y,z)

则n?DB

令y=-1，可得n=(1,-1,2)

∴A1O=-n

解题感悟

坐标法证明线面垂直的方法是建立空间直角坐标系，求相应坐标.（1）依据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直.（2）推断直线的方向向量与平面的法向量平行.

迁移应用

如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2，D为

答案：证明如图所示，取BC的中点O，取B1C1的中点O1,连接AO,OO1.因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B

则B(1,0,0),D(-1,1,0),A(0,0,

所以A

因为AB

AB

所以AB1

又因为BA1∩BD=B,BA1,BD?平面

探究点三证明面面垂直

精讲精练

例如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC,AB=BC=2,BB

答案：证明由题意得AB,BC,B1B两两垂直，故以B为原点，BA,BC,BB1所在直线分别为x

则A(2,0,0),A

∴A

设平面AA1

则n

令x1=1,

∴

设平面AEC1

则n

令z2=4,

∵n

∴平面AEC1⊥

解题感悟

利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直;二是干脆求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直得到面面垂直.

迁移应用

三棱锥被平行于底面ABC的平面截得的几何体如图所示，截面为三角形A1B1C1,∠BAC=90°,A1

答案：证明建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,

因为BC?

所以BC

所以BC⊥AD,BC⊥AA

又AD∩AA1

所以BC⊥平面A

而BC?平面BC

所以平面A1AD⊥平面

评价检测·素养提升

课堂检测

1.若直线l的方向向量a=(8,-12,0)，平面α的法向量μ=(2,-3,0)，则直线l与平面

A.l∥α

B.l⊥α

C.直线l与平面α相交但不垂直

D.无法确定

答案：B

解析：∵μ