《高等数学上册-极限与连续性课件》.pptVIP

*************************************复合函数的连续性如果内层函数在某个点处连续，且外层函数在内层函数的函数值处连续，那么复合函数在该点处也连续。复合函数的连续性可以用链式法则来证明。闭区间上连续函数的性质：有界性如果一个函数在闭区间上是连续的，那么该函数在该区间上一定是有界的。也就是说，函数值不会无限增大或无限减小。闭区间上连续函数的性质：最大值与最小值定理如果一个函数在闭区间上是连续的，那么该函数在该区间上一定存在最大值和最小值。也就是说，函数值在该区间内一定有最大值和最小值。闭区间上连续函数的性质：介值定理介值定理是指，如果一个函数在闭区间上是连续的，并且在该区间端点处的函数值符号相反，那么该函数在该区间内一定存在至少一个零点。也就是说，函数图像一定与x轴相交。零点存在性定理零点存在性定理是指，如果一个函数在闭区间上是连续的，并且在该区间端点处的函数值符号相反，那么该函数在该区间内一定存在至少一个零点。这个定理可以用来证明方程的根的存在性。连续函数性质的应用：方程求根连续函数的性质可以用来解决方程求根问题。例如，我们可以利用介值定理判断方程在某个区间内是否存在根，并利用二分法或其他数值方法来求解方程的根。极限与连续性的总结1极限是用来描述函数在自变量趋于某个值时，函数值的变化趋势。2ε-δ语言是用来精确定义极限的数学语言。3函数连续性是指函数图像在某一点没有断裂或跳跃。4连续函数的性质可以用来解决许多实际问题，例如：方程求根、函数的导数和积分等等。极限与连续性的难点分析极限与连续性是高等数学中的一个重要概念，也是很多学生感到困难的部分。学习中可能会遇到的难点主要有：1.ε-δ语言的理解和运用。2.极限的计算方法，尤其是复杂极限的计算。3.连续函数性质的理解和应用。4.间断点的判别方法。极限与连续性的易错点学习极限与连续性时，常见的易错点包括：1.混淆极限的概念和函数值的概念。2.错误地使用极限的性质。3.误判函数的间断点类型。4.忽略函数的定义域。极限与连续性的典型例题分析通过分析一些典型例题，我们可以更好地理解极限与连续性的概念和应用。例如，我们可以分析如何求解复杂极限、如何判断函数的连续性、如何利用介值定理证明根的存在性等等。例题1：求解复杂极限例题1：求解lim(x→0)(sin(2x)/x+cos(x)).分析：这个极限可以用约分法和重要极限来计算。首先，我们可以将sin(2x)/x化简为2sin(x)/x，然后利用lim(x→0)sin(x)/x=1来计算这个极限。最后，将结果与cos(x)的极限相加，即可得到最终结果。例题2：判断函数的连续性例题2：判断函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)在x=1处的连续性。分析：首先，我们发现当x=1时，分母为零，因此需要考虑函数在该点的极限。通过约分法，我们可以化简函数表达式，得到f(x)=x+1。因此，函数在x=1处的极限存在且等于2。但是，函数在x=1处没有定义，所以函数在x=1处有一个可去间断点。例题3：利用介值定理证明根的存在例题3：证明方程x^3-2x-1=0在区间[1,2]内存在至少一个根。分析：首先，我们可以将方程转化为函数f(x)=x^3-2x-1=0。然后，我们计算函数在区间端点处的函数值：f(1)=-2，f(2)=3。由于f(1)和f(2)符号相反，因此根据介值定理，函数f(x)在区间[1,2]内一定存在至少一个零点。所以，方程x^3-2x-1=0在区间[1,2]内存在至少一个根。课后练习：巩固所学知识课后练习是为了帮助大家巩固所学知识。请同学们完成课后练习题，并及时与老师沟通，解决学习中的困惑。练习题1：极限计算练习题1：求解lim(x→1)(x^2-1)/(x-1)和lim(x→∞)(1+1/x)^x。分析：这两个极限分别可以用约分法和重要极限来计算。请同学们尝试独立完成计算。练习题2：间断点判断练习题2：判断函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)和g(x)=sin(x)/x的间断点类型。分析：首先，我们需要确定函数的定义域，然后计算左右极限，判断它们是否相等，以及是否等于函数值。根据判断结果，可以确定函数的间断点类型。练习题3：连续函数性质的应用练习题3：证明方程x^3-3x+1=0在区