第5讲 数学广角—鸽巢问题（教师版）（知识梳理+典例分析+举一反三+巩固提升）人教版.docxVIP

人教版数学六年级下册

第五单元数学广角—鸽巢问题

知识点01：鸽巢问题

鸽巣原理是一个重要而又基本的组合原理,在解决数学问题时有非常重要的作用。

①什么是鸽巣原理,先从一个简单的例子入手,把3个苹果放在2个盒子里,共有四种不同的放法,如下表

放法

盒子1

盒子2

1

3

0

2

2

1

3

1

2

4

0

3

无论哪一种放法,都可以说“必有一个盒子放了两个或两个以上的苹果”。这个结论是在“任意放法”的情况下,得出的一个“必然结果”。

类似的,如果有5只鸽子飞进四个鸽笼里,那么一定有一个鸽笼飞进了2只或2只以上的鸽子。如果有6封信,任意投入5个信箱里,那么一定有一个信箱至少有2封信。我们把这些例子中的“苹果”、“鸽子”、“信”看作一种物体，把“盒子”、“鸽笼”、“信箱”看作鸽巣,可以得到鸽巣原理最简单的表达形式。

②利用公式进行解题：物体个数÷鸽巣个数=商……余数，至少个数=商+1。

摸2个同色球计算方法

①要保证摸出两个同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色数多1。物体数＝颜色数×（至少数－1）＋1。

②极端思想：用最不利的摸法先摸出两个不同颜色的球，再无论摸出一个什么颜色的球，都能保证一定有两个球是同色的。

③公式：两种颜色：2＋1＝3（个），三种颜色：3＋1＝4（个），四种颜色：4＋1＝5（个）。

考点01：鸽巢问题

【典例分析01】学校图书馆有科普读物、故事书、连环画三种图书．每个学生从中借阅两本．那么至少要4个学生借阅才能保证其中一定有2个人所借阅的图书属于同一种类．

【分析】首先把科普读物、故事书、连环画三种图书任意两本排列（不重复），一共有（科普读物，故事书），（科普读物，连环画），（故事书，连环画）三种情况，看做三个抽屉，只要学生数比抽屉多1就可以达到要求．

【解答】解：按（科普读物，故事书），（科普读物，连环画），（故事书，连环画）三种情况，构造三个抽屉，

3+1＝4（个），

答：至少要4个学生借阅才能保证其中一定有2个人所借阅的图书属于同一种类．

故答案为：4．

【点评】此题属于典型的抽屉原理习题，解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数”，把谁看作“物体个数”，然后根据抽屉原理解答即可．

【变式训练01】鱼池中有30条白鳞鱼，50条黑鳞鱼，50条金鳞鱼．至少在多少名钓鱼者中才可保证他们一次钓出的鱼中，必有金鳞鱼？

【分析】鱼池中有30条白鳞鱼，50条黑鳞鱼，50条金鳞鱼．最差的情况是，在80名钓鱼者中，有50名钓出的全是黑鳞鱼，30名钓出的全是白鳞鱼，此时池中全是金鳞鱼，因此只要再有一名钓鱼者，钓出的一条必是必有金鳞鱼，即至少在81名钓鱼者中才可保证他们一次钓出的鱼中，必有金鳞鱼．

【解答】解：50+30+1＝81（名）

答：至少在81名钓鱼者中才可保证他们一次钓出的鱼中，必有金鳞鱼．

【点评】根据抽屉原理中的最差情况进行分析是完成本题的关键．

【变式训练02】小明家有5口人，小明妈妈至少要买几个苹果分给大家，才能保证至少有一人能得两个苹果？

【分析】小明家有5口人，如果每人一个苹果的话，则需要5个苹果，因此，小明妈妈至少要买5+1＝6个苹果分给大家，才能保证至少有一人能得两个苹果．

【解答】解：5+1＝6（个）；

答：明妈妈至少要买6个苹果分给大家，才能保证至少有一人能得两个苹果．

【点评】把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件．

【变式训练03】盒子里有3支红笔，6支蓝笔，10支黑笔．现在随意抓一把笔要确保其中至少有1支红笔，则一把必须不少于几支？

【分析】把三种颜色看做3个抽屉，根据抽屉原理，考虑最差情况：蓝色和黑色的笔全部抓出来，共抓了16只，此时再任意抓出1只，就有1只红笔出现．

【解答】解：考虑最差情况：蓝色和黑色的笔全部抓出来，共抓了16只，此时再任意抓出1只，就有1只红笔出现，

6+10+1＝17（只）；

答：一把必须不少于17只，才能保证至少有1只红笔．

【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用．

一．选择题（共5小题）

1．盒子里有形状、大小相同的红色、黄色和白色乒乓球各4个，至少要摸出（）个才能保证有3种不同颜色的乒乓球。

A．5 B．8 C．9

【解答】解：4+4+1＝9（个）

答：至少要摸出9个才能保证有3种不同颜色的乒乓球。

故选：C。

【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。

2．把19个苹果放进6个袋里，不论怎样放，总有一个袋里至少放（）个。

A．4 B．3 C．2 D．1

【分析】把6个袋子看作6个抽屉，把19个苹果看作19个元素，那么每个抽屉需要放19÷6＝3（个）……1（个），所以每个抽屉需要放3个，剩下的1个不论怎么放，总有一个