2024年新教材高考数学一轮复习考点规范练37空间直线平面的垂直含解析新人教版.docxVIP

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考点规范练37空间直线、平面的垂直

一、基础巩固

1.若平面α⊥平面β,平面α∩平面β=直线l,则()

A.垂直于平面β的平面肯定平行于平面α

B.垂直于直线l的直线肯定垂直于平面α

C.垂直于平面β的平面肯定平行于直线l

D.垂直于直线l的平面肯定与平面α,β都垂直

答案:D

解析:对于A,垂直于平面β的平面与平面α平行或相交,故A错;对于B,垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内,故B错;对于C,垂直于平面β的平面与直线l平行或相交,故C错;易知D正确.

2.(2024广东珠海一模)已知α,β是两个不同的平面,l,m,n是三条不同的直线,下列条件中,可以得到l⊥α的是()

A.l⊥m,l⊥n,m?α,n?α

B.l⊥m,m∥α

C.α⊥β,l∥β

D.l∥m,m⊥α

答案:D

解析:由α,β是两个不同的平面,l,m,n是三条不同的直线,知:

对于A,l⊥m,l⊥n,m?α,n?α,则l与α相交、平行或l?α,故A不行以;

对于B,l⊥m,m∥α,则l与α相交、平行或l?α,故B不行以;

对于C,α⊥β,l∥β,则l与α相交、平行或l?α,故C不行以;

对于D,l∥m,m⊥α,则l⊥α,故D可以.

3.如图,在四面体D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列结论正确的是()

A.平面ABC⊥平面ABD

B.平面ABD⊥平面BDC

C.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE

D.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE

答案:C

解析:因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC.同理有DE⊥AC,于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内,所以平面ABC⊥平面BDE.又因为AC?平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE,故选C.

4.(2024山东肥城三模)如图,AB为圆锥底面直径,C是底面圆O上异于A,B的动点.已知OA=3,圆锥侧面绽开图是圆心角为3π的扇形,则当PB与BC所成角为π3时,PB与AC所成角为(

A.π3 B.π6

答案:C

解析:设圆锥母线长为l,则l·3π=23π,解得

∵PB=PC,且PB与BC所成的角∠PBC=π3,∴BC=2

又OA=3,∴在Rt△ABC中,AC=22

如图,作BD∥AC与圆O交于点D,

连接AD,则四边形ACBD为平行四边形,BD=AC=22,

连接PD,则∠PBD为PB与AC所成角.

在△PBD中,PD=PB=2,BD=22,可得PD⊥PB,∴∠PBD=π

5.已知l,m,n是三条不同的直线,α,β是不同的平面,则α⊥β的一个充分条件是()

A.l?α,m?β,且l⊥m

B.l?α,m?β,n?β,且l⊥m,l⊥n

C.m?α,n?β,m∥n,且l⊥m

D.l?α,l∥m,且m⊥β

答案:D

解析:∵m⊥β,l∥m,∴l⊥β.又l?α,∴α⊥β,故选D.

6.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则点C1在底面ABC上的射影H必在()

A.直线AB上 B.直线BC上

C.直线AC上 D.△ABC内部

答案:A

解析:连接AC1,由BC1⊥AC,BA⊥AC,得AC⊥平面ABC1,

所以平面ABC⊥平面ABC1,

所以C1在底面ABC上的射影H在直线AB上.

7.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一个动点,当点M满意时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)?

答案:DM⊥PC(或BM⊥PC)

解析:连接AC.∵PC在底面ABCD上的射影为AC,且AC⊥BD,∴BD⊥PC.

∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,而PC?平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.

8.如图,在棱长为2a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AC的中点,则平面MBC1与平面CBC1的夹角的正切值为.?

答案:2

解析:连接MD,则M是BD的中点,连接DC1,取BC1的中点E,连接CE,DE,如图.

已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2a,则BD=DC1=BC1=22a,

CC1=BC=2a,又E是BC1的中点,∴DE⊥BC1,CE⊥BC1.

∴∠DEC或其补角就是平面DBC1与平面CBC1的夹角,即平面MBC1与平面CBC1的夹角.

又DC⊥平面CBC1,∴DC⊥CE.

在Rt△DCE中,DC=2a,CE=2a,

∴tan∠DEC=2

故平面MBC1与平面CBC1的夹角的正切值为2

9.设α,β是空间两个不同的平面,m,n是平面α及β外的两条不同直线.从“①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,