2025版新教材高中数学第五章三角函数5.1第3课时二倍角的正弦余弦正切公式学案新人教A版必修第一册.docxVIP

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第3课时二倍角的正弦、余弦、正切公式

课标解读

课标要求

素养要求

1.能用两角差的余弦公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.

2.能娴熟运用二倍角的正弦、余弦、正切公式化简、求值和证明.

1.数学运算——能娴熟运用二倍角的公式进行简洁的化简、求值.

2.逻辑推理——能娴熟运用二倍角的公式证明等式成立.

自主学习·必备学问

教材研习

教材原句

要点一二倍角的正弦公式

sin?2α=①2?

要点二二倍角的余弦公式

cos?2α=②cos

cos?2α=1-2?

cos?2α=2?

要点三二倍角的正切公式

tan?2α=③2?

以上这些公式都叫做倍角公式.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.

自主思索

1.二倍角的正切公式的适用范围是随意角吗？

答案：提示不是.二倍角的正切公式，要求α≠π2+k

2.倍角公式中“倍角”仅是指α与2α吗？

答案：提示倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的状况,还可运用于4α作为2α的二倍,α作为α2的二倍,3α作为3α2的二倍,α+β作为α+β2

名师点睛

二倍角公式的逆用、变形用

（1）逆用形式：

2?sin

cos2

2?tan

（2）变形用形式：

1±sin

1+cos

1-cos

互动探究·关键实力

探究点一给角求值

精讲精练

例求下列各式的值：

（1）sinπ12cosπ12

答案：（1）原式=2?

（2）原式=cos

（3）原式=

=tan

解题感悟

对于给角求值问题,一般分为两类：

（1）干脆正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化,一般可以化为特别角.

（2）若形式为几个非特别角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.

迁移应用

1.求下列各式的值：

（1）cos?75°

答案：（1）原式=sin

（2）原式=(cos

探究点二给值求值

精讲精练

例（1）已知sinα=55

A.-35B.-15

（2）已知α∈(π2,

答案：（1）A

（2）-

解析：（1）sin

=-(cos

（2）由α∈(π2,

则tanα=

故tan?2α=

解题感悟

解决给值求值问题的方法

（1）给值求值问题,留意找寻已知式子与未知式子之间的联系,有两个视察方向：

①有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化;

②找寻角之间的关系,看是否适合相关公式的运用,留意常见角的变换和角之间的二倍关系.

（2）留意几种公式的敏捷应用,如：

①sin

=2?cos

②cos

=2?sin

迁移应用

1.已知sin?2α=23

A.16B.

C.12D.

答案：A

2.已知α∈R,sin

A.43B.

C.-34

答案：C

探究点三给值求角

精讲精练

例已知sin22α+sin

答案：π

解析：由原式,得sin2

所以(2?sin

所以2?cos

所以2?cos

因为α为锐角,所以cos2

所以2?sin

所以sinα=12

解题感悟

给值求角问题一般涉及特别角的三角函数值,解题思路是先利用三角函数公式、角的变换求出待求角的某一三角函数值,再依据已知条件或角的范围确定结论.

迁移应用

1.已知tanα=17,tan

A.3?π4B.5?π4

答案：C

解析：由题意得,tan?2β=

所以tan(α+2β)=

因为α,β均为锐角,

且tanα=

所以α,β∈(0,π4)

所以α+2β=π

评价检测·素养提升

1.（2024北京试验学校高一月考）已知cos?x=34

A.-14B.14C.

答案：D

2.若tanα=3,则sin

A.2B.3C.4D.6

答案：D

3.已知α为其次象限角,sinα=35

答案：-

4.已知cos(α-π4)=2

答案：23;

解析：因为α+π

所以sin(α+

因为2α=2(α-π4)+

5.已知α为其次象限角,sinα+cosα=

答案：-

解析：将sinα+cosα=33两边平方可得,1+sin?2α=13,则sin

所以cos?2α=