2025版新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语4.2充要条件学案新人教A版必修第一册.docxVIP

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充要条件

课标解读

课标要求

素养要求

1.理解充要条件的意义.

2.会推断一些简洁问题的充要条件.

3.能对充要条件进行证明.

1.数学抽象——会用定义推断充要条件.

2.数学运算——能用充要条件求解相关问题.

自主学习·必备学问

教材研习

教材原句

假如“若p，则q”和它的逆命题“①若q，则p”均是真命题，即既有p?q，又有q?p，就记作②p?q.此时，p既是q的充分条件，又是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件.明显，假如p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，假如p?q，那么p与q互为充要条件.

自主思索

1.由“p:x∈A”是“q:x∈B”的充要条件，能否得出A=B？

答案：提示可以提出A=B.若x∈A?x∈B，则A?B，反之B?A，故A=B.

名师点睛

1.命题p与q的四个关系

（1）若p?q，则p与q互为充要条件.

（2）若p?q，但q?p，则p是q的充分不必要条件.

（3）若q?p，但p?q，则p是q的必要不充分条件.

（4）若p?q，且q?p，则p是q的既不充分也不必要条件.

2.留意区分A是B的充分不必要条件（A?B且B?A）；与A的充分不必要条件是（B?且A?B）两者的不同.

3.“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区分：

（1）p是q的充要条件说明p是条件，q是结论.

（2）p的充要条件是q说明q是条件，p是结论.

互动探究·关键实力

探究点一充要条件的推断

精讲精练

例指出下列各题中，p是q的什么条件（“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”）.

（1）p:x2＞0

（2）p:a能被6整除，q:a能被3整除；

（3）p:两个角都是直角，q:两个角不相等；

（4）p:A∩B=A，q:?

答案：（1）p:x

则x＞0或x＜0，q:x＞0，

故p?q，q?p，

故p是q的必要不充分条件.

（2）p:a能被6整除，故也能被3和2整除，q:a能被3整除，故p?q，q?p，

故p是q的充分不必要条件.

（3）p:两个角都是直角，则这两个角相等，

q:两个角不相等，则这两个角肯定不都是直角，

即p?q，q?p，

故p是q的既不充分也不必要条件.

（4）因为A∩B=A?A?B??

所以p是q的充要条件.

解题感悟

充要条件的判定方法有定义法、集合法和等价转化法.三种不同的方法适用于不同类型的问题，定义法适用于定义、定理推断性命题，而集合法适用于命题中涉及求字母的取值范围的推断命题，等价转化法适用于条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来推断.

迁移应用

1.设A，B，U是三个集合，且A?U，B?U则“x∈(?UA)∩(

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案：C

解析：∵(?

∴“x∈(?UA)∩(

2.指出下列各题中p是q的什么条件.

（1）p:两个三角形相像；q:两个三角形全等；

（2）p:一个四边形是矩形；q:四边形的对角线相等.

答案：（1）因为两个三角形相像?两个三角形全等，但两个三角形全等?两个三角形相像，

所以p是q的必要不充分条件.

（2）因为矩形的对角线相等，所以p?q.

又对角线相等的四边形不肯定是矩形，所以q?p，所以p是q的充分不必要条件.

探究点二充要条件的证明

精讲精练

例求证：△ABC是等边三角形的充要条件是a2+b2+c2=ab+ac+bc.（这里

答案：证明必要性：

因为△ABC是等边三角形，所以a=b=c，

所以ab+ac+bc=a

充分性：

由a2+b2+c2=ab+ac+bc两边同时乘2得，

综上，△ABC是等边三角形的充要条件是a2

解题感悟

充要条件证明的策略

（1）要证明p是q的充要条件，须要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真.

（2）在证明的过程中也可以利用集合的思想来证明，即证明p与q的解集是相同的.提示:证明时肯定要分清充分性与必要性的证明方向.

迁移应用

1.求证：一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0.

答案：证明①充分性：假如b=0，那么y=kx(k≠0)，

当x=0时，y=0，该函数的图象过原点.

②必要性：因为y=kx+b(k≠0)的图象过原点，

所以当x=0时，y=0，

则0=k?0+b，

所以b=0.

综上，一次函数y=kx+b(k≠0