2025版新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1.2空间向量的数量积运算基础训练含解析新人教A版选.docxVIP

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空间向量的数量积运算

1.（多选题）已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积肯定为零的是()

A.PC与BDB.DA与PB

C.PD与ACD.PA与CD

答案：BD

2.（2024北京海淀高二期末）已知四面体ABCD的棱长都是2,点E是AD的中点,则BA?

A.1B.-1C.3D.-

答案：A

3.（2024四川雅安中学高二月考）若空间四边形OABC的四个面均为等边三角形,则cos

A.12B.22C.

答案：D

4.（多选题）设a、b为空间中的

A.a2=|

C.(a?

答案：AD

5.已知在平行六面体ABCD-ABC

A.52B.53C.58

答案：D

6.已知在空间四边形ABCD中,∠ACD=∠BDC=90°,且AB=2,CD=1,则CD在

A.14AB

C.14D.

答案：A

7.已知在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D

A.-1B.0C.1D.2

答案：C

8.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,

A.1010DE

C.55DE

答案：D

解析：设正方体的棱长为1,AB=a

∴

∴向量A1C1在向量DE

9.（多选题）在正方体ABCD-A

A.四边形ABC1

B.AD1与A

C.(

D.A

答案：ACD

10.已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面

答案：3;10

素养提升练

11.已知MN是正方体的内切球的一条直径,点P在正方体的表面上运动,正方体的棱长是2,则PM?

A.[0,4]B.[0,2]

C.[1,4]D.[1,2]

答案：B

解析：设正方体的内切球的球心为O,则OM=ON=1,

PM

∵MN为该正方体的内切球的一条直径,

∴OM+ON

∴当P为正方体的顶点时,|PO|最大,最大值为3;当P为内切球与正方体的切点时,

∴

即PM?PN

12.在平行四边形ABCD中,∠A=60°,AB=2,AD=1,若M、N分别是BC、CD上的点,且满意|

A.[1,3]B.[1,5]

C.[2,4]D.[2,5]

答案：D

解析：设|BM|

=4(1-λ)+λ+(1+λ-λ

由二次函数的性质易知AM?

13.如图,四个棱长均为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,…,8)是上底面其余的八个点,则集合

A.1B.2C.4D.8

答案：A

解析：由题图可知,APi

因为AB⊥BPi,所以AB?B

14.已知在矩形ABCD中,AB=1,BC=3,将矩形ABCD沿对角线AC折起,使平面ABC与平面ACD垂直,则|

A.102B.62C.

答案：A

解析：过点B,D分别向AC作垂线,垂足分别为M,N,

易得AM=12,BM=3

所以|BD

15.如图,在△ABC和△AEF中,B是EF的中点,AB=2,EF=4,CA=CB=3,若AB?AE+AC?

答案：1

解析：由题意可得BC2

AB?AE

∴EF

即4×3×cos

∴cos

创新拓展练

16.（2024山东济宁试验中学高二期中）如图,在平行六面体ABCD-A1B

（1）求A1

（2）求证：A1

命题分析本题考查了利用空间向量求线段的长度,考查了利用空间向量证明线线垂直,渗透了数学运算、逻辑推理的素养.

答题要领（1）先设AB=a,AD=b,AA1=

具体解析（1）设AB

则A1

因为∠A1

所以|

=

=1+1+1+1-1-1=2,故A1

（2）证明：由（1）可知BD=

所以A

即A1

解题感悟长方体、四面体、平行六面体等是探讨空间向量的常见几何体,要熟识其结构特点,擅长挖掘隐含的垂直或特别角等条件.