2025版新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其线性运算学案新人教A版选择性必修第.docxVIP

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空间向量及其线性运算

课标解读

课标要求

素养要求

1.经验由平面对量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.

2.经验由平面对量的线性运算及其运算律推广到空间向量的过程，驾驭空间向量的线性运算及其运算律.

1.直观想象——能够直观想象出空间图形.

2.数学运算——能够对空间向量进行运算.

自主学习·必备学问

教材研习

教材原句

要点一空间向量的有关概念

1.空间向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的①长度或模.

空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作AB，其模记为|a|或

2.零向量：长度为0或者起点和终点重合的向量，记为0.

3.单位向量：模为②1的向量叫做单位向量.

4.相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为-

5.平行（共线）向量：假如表示若干空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合，那么这些向量叫做③共线向量或平行向量.

6.相等向量：方向相同且模相等的向量

要点二空间向量的加法、减法、数乘运算及运算律

1.空间向量的加法、减法运算：

类似于平面对量，定义空间向量的加法、减法运算：

（1）OB=OA+

（2）CA=OA-

2.空间向量的数乘运算：

与平面对量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍旧是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λ

（1）|λa

（2）当λ0时，λa与向量a方向相同；当λ0时，λa与向量a方向相反；当λ=0时，

3.空间向量的线性运算满意以下运算律（其中λ,μ∈R

交换律：a+

结合律：(a

安排律：(λ+μ)a

要点三共线向量定理、方向向量、共面对量定理

1.共线向量定理：

对随意两个空间向量a,b(b≠0),

2.方向向量：

在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量为直线l的方向向量，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定.

3.共面对量定理：

（1）共面对量的定义：平行于同一个平面的向量叫做共面对量.

（2）三个空间向量共面的充要件：假如两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对

自主思索

1.在如图所示的正方体中：

（1）AB的相反向量有哪些？

（2）CC的相等向量有哪些？

提示（1）CD,

（2）BB1

2.平行向量所在的直线肯定平行吗？

提示不肯定，也可能重合.

3.空间向量的加法、减法运算可类比平面对量的加法、减法运算，指出a+

提示OC.

4.实数与向量可以相乘，是否也可以相加、减？

提示实数与向量不能相加、减，如λ+a

5.空间中随意两个向量都是共面对量这个结论是否正确？

提示正确，依据向量相等的定义可以把向量进行平移，空间中随意两个向量都可以平移到同一平面内成为共面对量.

名师点睛

1.空间向量的加法运算的小技巧

（1）首尾相接的若干向量之和等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量,即A1

（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形,则它们的和为零向量,即A

2.空间中随意两个向量是共面的,但空间中随意三个向量就不肯定共面了.

3.有限个向量求和,交换相加向量的依次,其和不变.

互动探究·关键实力

探究点一空间向量的概念

自测自评

1.在下列命题中：①若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线肯定平行;②若向量a,b所在的直线是异面直线,则向量a,b

A.0B.1

C.2D.3

答案：A

解析：依据两个向量共线的定义知,两个向量共线有可能两个向量所在的直线重合,所以①是假命题;

两个向量可以平移到一个平面内,所以②是假命题;

若向量a,

2.给出下列命题：①零向量没有确定的方向;②在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=-C1

答案：①②

解析：易知①是真命题;

因为AA1与C1

|a|=|b|,不能确定

只有当四边形ABCD是平行四边形时,才有AB+

解题感悟

空间中,零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面对量中相对应的概念完全相同.由于向量是由向量的模和方向确定的,因此解决空间向量有关概念问题时,通常抓住这两点.

探究点二空间向量的线性运算

精讲精练

类型1空间向量的线性运算

例1在四面体ABCD中,点F在AD上,且AF=2FD,E为BC的中点,则EF=

A.AC

B.-

C.1

D.-

答案：B

解析：在四面体ABCD中,点F在AD上,且AF=2FD,E为BC的中点,

所以EF=

类型2利用空间向量的线性运算求参数

例2（2024天津