2.4.1 圆的标准方程（导学案）原卷版 -高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）.docx

2.4.1圆的标准方程导学案

学习目标

1.建立圆的标准方程；

2.运用坐标法判断点与圆的位置关系；

3.利用待定系数法及结合图形几何性质确定圆的标准方程.

重点难点

1.教学重点：圆的标准方程及其推导过程；

2.教学难点：确定圆的标准方程.

课前预习自主梳理

要点一圆的定义

圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合．

要点二圆的标准方程

思考：若圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝c2，则此圆的半径一定等于c吗？

提示不一定，圆的半径应为|c|.

要点三点与圆的位置关系

点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法如表所示.

位置关系

利用距离判断

利用方程判断

点M在圆上

|CM|＝r

(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2

点M在圆外

|CM|r

(x0－a)2＋(y0－b)2r2

点M在圆内

|CM|r

(x0－a)2＋(y0－b)2r2

自主检测

1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．

(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．()

(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径．()

(3)圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标为(1,2)，半径为4.()

(4)(0,0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上．()

2.圆的圆心坐标为（????）

A． B． C． D．

3.圆的圆心坐标为（????）

A． B． C． D．

4.给定圆，下列说法正确的是（）

A．圆心是，半径为1

B．圆心是，半径为1

C．圆心是，半径为5

D．圆心是，半径为5

新课导学

学习探究

环节一创设情境，引入课题

多边形和圆是平面几何中的两类基本图形．建立直线的方程后，我们可以运用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交点以及点到线段所在直线的距离等问题．类似地，为了研究圆的有关性质，解决与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程．

类似于直线方程的建立过程，为建立圆的方程，我们首先考虑确定一个圆的几何要素．

问题1：在平面中，圆的定义是什么？如何用集合语言描述？

我们知道，圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合．

在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了．

由此，我们可以建立圆上点的坐标应满足的关系式，进而得到圆的方程．

如图2.4-1，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为，半径为，为圆上任意一点，就是以下点的集合．

环节二观察分析，感知概念

问题2：在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？

设圆心的坐标为，半径为，为圆上任意一点，则根据两点间的距离公式有，两边平方得到

（1）

显然，若点在圆上，则点的坐标就满足方程(1)；反过来，若点的坐标满足方程(1)，就说明点与圆心间的距离为，点就在圆上．

如此，我们就可以通过方程(1)，在平面直角坐标系中确定一个圆．

环节三抽象概括，形成概念

问题3：圆的特征是什么？通过哪些要素刻画圆？

由上述过程可知，若点在上，点的坐标就满足方程（1）；反过来，若点的坐标满足方程（1），就说明点与圆心间的距离为，点就在上．这时，我们把方程（1）称为圆心为，半径为的圆的标准方程(standardequationofcircle)．

圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，通过圆心和半径这两个要素来刻画圆．所以，在平面直角坐标系中，确定一个圆的方程，核心就是确定它的圆心坐标以及半径大小．我们把方程(1)称为圆心为，半径为的圆的标准方程．

环节四辨析理解深化概念

问题4：例1求圆心为，半径为5的圆的标准方程，并判断点，是否在这个圆上．

分析：

探究

点在圆内的条件是什么？在圆外的条件又是什么？

问题5：例2的三个顶点分别是，，，求的外接圆的标准方程．

的外接圆的圆心是的外心，即三边垂直平分线的交点．

环节五概念应用，巩固内化

问题6：例3已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上，求此圆的标准方程．

环节六归纳总结,反思提升

问题7：通过本节课，你学到了哪些知识？

环节七 目标检测，作业布置

完成教材：课本P85练习题1，2，3，4

备用练习

1.．“方程表示的图形是圆”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2.若点在圆外，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

A． B． C．圆心为 D．圆心为

4.已知圆，圆，则这两圆的位置关系是（??）

A．相交 B．相离 C．外切 D．内含