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0103050204解是全微分方程,将左端重新组合原方程的通解为例2?用直接凑全微分的方法.解01将方程左端重新组合,有02例3求微分方程03原方程的通解为0401定义:02问题:如何求方程的积分因子?2、积分因子法公式法:01求解不容易02特殊地:032.观察法:凭观察凑微分得到常见的全微分表达式两端积分6.2.2.齐次方程:1.定义的微分方程称为齐次方程.01作变量代换02可分离变量的方程2.解法小结:齐次方程通过变量替换可化为可分离变量方程.例1求解微分方程解微分方程的解为01例2求解微分方程02解微分方程的解为01解02代入原方程得可化为齐次方程的方程原方程的通解为为齐次方程.ABC解法h和k可由方程组（其中h和k是待定的常数）得通解，代回由此可定出h,k,即原微分方程可化为齐次方程求解.作变量替换，令z=ax+by,就化成可分离变量的方程01则方程组中x,y的系数对应成比例，设比例系数为λ，此时方程可写成02解代入原方程得CBA分离变量法得得原方程的通解方程变为2上方程称为齐次的.3上方程称为非齐次的.1一阶线性微分方程的标准形式:6非线性的.5线性的;4例如、一阶线性微分方程齐次方程的通解为线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)线性非齐次方程01讨论02两边积分03非齐次方程通解形式04与齐次方程通解相比:0501常数变易法02把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.03实质:未知函数的变量代换.04作变换积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解01.02.03.04.解:这是一阶线性微分方程例1例2如图所示，平行与轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.两边求导得解解此微分方程所求曲线为01020304方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.解法:需经过变量代换化为线性微分方程.伯努利(Bernoulli)方程的标准形式、伯努利方程logo求出通解后，将代入即得代入上式解例3解例4用适当的变量代换解下列微分方程:所求通解为01解02分离变量法得03所求通解为解01代入原式02分离变量法得03所求通解为04另解05定义:则例如12345若有全微分形式称为全微分方程或恰当方程所以是全微分方程.6.2.6.全微分方程及其求法5%55%30%10%解法:通解为?应用曲线积分与路径无关.全微分方程解是全微分方程,原方程的通解为例1、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.解法为微分方程的解.分离变量法可分离变量的微分方程典型例题例1求解微分方程两端积分解:设,将原方程分离变量,得:两端积分小结分离变量法步骤:分离变量;两端积分-------隐式通解.注意:通解的形式尽量是最简形式(如取C为特殊形式,可简化通解)**
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