高一必修一数学集合知识点总结.pptx

高一必修一数学集合知识点总结

集合基本概念与性质

集合中元素个数问题

集合应用问题

典型例题分析与解答

练习题与自测题

目录

01

集合基本概念与性质

集合是数学中的一个基本概念，它是一组具有某种共同属性的对象的总体。

集合定义

集合通常用大写字母表示，如A、B、C等。元素与元素之间用逗号隔开，并用花括号{}括起来，如{a,b,c}。

表示方法

如果元素a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A。

如果元素a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∉A。

不属于关系

属于关系

如果集合A和集合B的元素完全相同，则称A与B相等，记作A=B。

相等关系

如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B。

包含关系

如果集合A是集合B的子集，并且集合A不等于集合B，则称A是B的真子集，记作A⊂B。

真包含关系

并集运算

交集运算

补集运算

差集运算

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B。

对于一个集合A，由全集U中所有不属于A的元素组成的集合称为A的补集，记作Cₐ或A。

由所有既属于集合A又属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B。

对于两个集合A和B，由所有属于A但不属于B的元素所组成的集合，称为集合A与B的差集，记作A-B或AB。

并集性质

并集运算满足交换律和结合律，即A∪B=B∪A，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。

并集定义

对于任意两个集合A和B，由所有属于A或属于B的元素所组成的集合称为A与B的并集，记作A∪B。

示例

若A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。

1

2

3

对于任意两个集合A和B，由所有既属于A又属于B的元素所组成的集合称为A与B的交集，记作A∩B。

交集定义

交集运算满足交换律和结合律，即A∩B=B∩A，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。

交集性质

若A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∩B={3}。

示例

差集定义

对于任意两个集合A和B，由所有属于A但不属于B的元素所组成的集合称为A与B的差集，记作A-B或AB。

差集性质

差集运算不满足交换律，即A-B不一定等于B-A。差集运算也不满足结合律。

示例

若A={1,2,3,4,5}，B={4,5,6,7,8}，则A-B={1,2,3}。

对称差集定义

对于任意两个集合A和B，由所有属于A但不属于B，或属于B但不属于A的元素所组成的集合称为A与B的对称差集，记作A⊕B。

对称差集性质

对称差集运算满足交换律和结合律，即A⊕B=B⊕A，(A⊕B)⊕C=A⊕(B⊕C)。对称差集运算也可以表示为两个集合的并集减去它们的交集，即A⊕B=(A∪B)-(A∩B)。

示例

若A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A⊕B={1,2,4,5}。

02

集合中元素个数问题

直接列举出集合中的所有元素，计算元素个数。

列举法

公式法

排列组合法

对于连续整数或有规律的数列构成的集合，可以使用公式计算元素个数，如等差数列的项数公式。

对于复杂集合，可以通过排列组合的方法计算元素个数。

03

02

01

根据无限集合的定义，判断集合是否为无限集合。

定义法

通过举例来证明集合为无限集合，如自然数集、整数集等。

举例法

假设集合为有限集合，推出矛盾，从而证明集合为无限集合。

反证法

子集定义

如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集。

如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于集合A，那么集合A叫做集合B的真子集。

如果集合A和集合B含有完全相同的元素，那么集合A和集合B叫做相等集合。

任意集合都是自身的子集和相等集合；空集是任意集合的子集；如果集合A是集合B的真子集，那么集合B一定不是集合A的真子集。

真子集定义

相等集合定义

子集、真子集和相等集合的关系

03

集合应用问题

明确列举法定义

01

列举法是一种将集合元素一一列出的方法，适用于元素个数较少且易于列举的集合。

应用举例

02

在解决数学问题时，可以通过列举法来表示一些具体的数集，如自然数集、整数集等。此外，在解决实际问题时，也可以利用列举法来表示满足某些条件的对象集合。

注意事项

03

使用列举法表示集合时，需要注意元素之间的顺序和重复性，确保每个元素只出现一次且顺序不影响集合的本质。

明确描述法定义

描述法是一种通过描述集合中元素的共同特征来表示集合的方法。

应用举例

在解决数学问题时，可以利用描述法来表示一些抽象的数集，如方程或不等式的解集、函数的定义域或值域等。此外，在解决实际问题时，也可以利用描述法来表示满足某些条件的对象集合。

注意事项

使用描述法表示集合时，需要注意