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【高考数学】专题3--用导数研究函数的极值（原卷版）

专题3用导数研究函数的极值

一、考情分析

函数与导数一直是高考中的热点与难点,研究函数的极值是导数在函数中的一个重要应用,也是高考考查的

重点，本专题从求函数的极值、确定函数极值点的个数、由函数极值点个数确定参数范围、含参数的函数

极值的讨论、由极值点满足条件求解不等式问题等几个方面帮助高三学生把握极值问题求解问题.

二、解题秘籍

（一)求函数的极值

1．函数的极值与导数的关系

(１)函数的极小值与极小值点

若函数ｆ（x)在点ｘ=a处的函数值f(a)比它在点x=ａ附近其他点的函数值都小,f′（a)＝0,而且在点

x=a附近的左侧ｆ′(x)〈０，右侧ｆ′（x)〉０,则点a叫做函数的极小值点,f（a)叫做函数的极小值.

(2）函数的极大值与极大值点

若函数f(x）在点ｘ＝b处的函数值f(b）比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f′(b)=0，而且在点

x=b附近的左侧ｆ′（ｘ）０，右侧f′(x)0，则点b叫做函数的极大值点,ｆ(b)叫做函数的极大值。

2。求函数f（ｘ）极值的步骤:

①确定函数的定义域;

②求导数f′(x);

③解方程f′（x)＝0，求出函数定义域内的所有根；

④列表检验f′（x)在f′(x)=0的根x左右两侧值的符号。如果左正右负,那么ｆ（x)在x处取极大值；

０0

如果左负右正,那么f（ｘ)在ｘ处取极小值．

０

3．对极值理解:

(１)极值点不是点,注意极值与极值点的区别;

（2）若f（ｘ)在(a,b）内有极值，那么ｆ(x）在（a,b)内绝不是单调函数,即在

区间上单调的函数没有极值。

（3）根据函数的极值可知函数的极大值f（ｘ）比在点x附近的点的函数值都大,在函数的图象上表现为

00

极大值对应的点是局部的“高峰”；函数的极小值f(x)比在点x附近的点的函数值都小，在函数的图象

00

上表现为极小值对应的点是局部的“低谷。一个函数在其定义域内可以有许多极小值和极大值，在某一

点处的极小值也可能大于另一个点处的极大值，极大值与极小值没有必然的联系，即极小值不一定比极大

值小，极大值不一定比极小值大；

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（4)使f′(ｘ）＝0的点称为函数f(x)的驻点，可导函数的极值点一定是它的驻点．驻点可能是极值点，

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也可能不是极值点．例如f(x)=ｘ的导数ｆ′（x）＝3x在点ｘ＝0处有ｆ′（0)=0，即x=０是ｆ(ｘ）

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=x的驻点,但从ｆ(ｘ)在（-∞，＋∞)上为增函数可知，ｘ＝０不是f(ｘ)的极值点.因此若f′（x)=0,

0

则ｘ不一定是极值点,即ｆ′(x）＝０是f（ｘ）在x＝x处取到极值的必要不充分条件，函数

000

y=f′(x）的变号零点，才是函数的极值点;

（5）函数f（x）在［a,ｂ］上有极值,极值也不一定不唯一