2025版新教材高中数学第四章指数函数与对数函数章末总结学案新人教A版必修第一册.docxVIP

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第四章指数函数与对数函数

章末总结

体系构建

题型整合

题型1指数与对数的运算

例1求下列各式的值.

（1）(51

（2）log5

答案：（1）原式

=(

=

=0.

（2）原式=

=log

方法归纳

1.指数与对数的运算应遵循的原则

（1）指数的运算：留意化简依次,一般负指数先转化成正指数,根式化为分数指数幂运算．另外,若出现分式,则要对分子、分母因式分解以达到约分的目的.

（2）对数的运算：留意公式应用过程中范围的改变,前后要等价,一般本着真数化简的原则进行.

2.底数相同的对数式化简的两种基本方法

（1）“收”：将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数.

（2）“拆”：将积(商)的对数拆成对数的和(差).

迁移应用

1.计算：(27

答案：8

解析：原式=(2

2.已知2x=3,log

答案：3

解析：由2x=3,log48

题型2指数函数、对数函数的图象问题

例2（1）若函数y=log

A.B.

C.D.

（2）如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log

A.{x|-1＜x≤0}

B.{x|-1≤x≤1}

C.{x|-1＜x≤1}

D.{x|-1＜x≤2}

答案：（1）B（2）C

解析：（1）由题意y=logax(a＞0,且a≠1)的图象过点(3,1),可解得a=3.选项A中,y=3-x=(13)x,明显图象错误;选项B中,y=x

（2）令y=log2(x+1)(x＞-1)

由x+y=2,y=log

结合图象知不等式f(x)≥log2(x+1)

方法归纳

（1）识别函数的图象从以下几个方面入手：

①单调性：函数图象的改变趋势;

②奇偶性：函数图象的对称性;

③特别点对应的函数值．

（2）已知不能解出的方程或不等式的解求参数的范围常用数形结合的思想解决.

（3）指数函数、对数函数、幂函数的图象既是干脆考查的对象,又是数形结合求交点、最值、解不等式的工具,所以要能娴熟画出这三类函数的图象,并会进行平移、伸缩、对称、翻折等变换.

迁移应用

3.已知a＞1,b＜-1,则函数y=log

A.第一象限B.其次象限

C.第三象限D.第四象限

答案：D

4.对a＞0,且a≠1的全部正实数,函数y=ax+1-2

答案：(-1,-1)

解析：当x=-1时,y=a

题型3指数函数、对数函数的性质

例3设f(x)=log12

（1）求a的值;

（2）证明f(x)在区间(1,+∞)上单调递增.

答案：（1）因为f(x)为奇函数,

所以f(-x)=-f(x),

所以log1

所以1+ax-x-1

即(1+ax)(1-ax)=-(x+1)(x-1),

所以a=-1(a=1舍去).

（2）证明：由（1）可知f(x)=log

令u(x)=1+2x-1

则u(

=(1+2

因为1＜

所以x

所以2(x2

所以函数u(x)=1+2x-1在

又因为函数y=log12u在(0,+∞)上是减函数,所以

方法归纳

基本初等函数单调性的推断与应用

（1）对于指数函数和对数函数,留意底数a对函数单调性的影响;对于幂函数y=xα,留意指数

（2）依据函数的单调性可以比较函数值的大小和求不等式的解集.

迁移应用

5.设函数f(x)=ln(2+x)-ln

A.奇函数,且在(0,2)上是增函数

B.奇函数,且在(0,2)上是减函数

C.偶函数,且在(0,2)上是增函数

D.偶函数,且在(0,2)上是减函数

答案：A

6.若函数y=loga(2x-1)(0＜a＜1)在区间[3,6]

答案：11

解析：因为0＜a＜1,且y=2x-1在定义域内为增函数,

所以函数y=loga(2x-1)

所以当x=6时,y有最小值-2,即log

所以a-2=1

题型4函数的应用

例4某工厂因排污比较严峻,确定着手整治,第一个月污染度为60,整治后前四个月的污染度如表所示：

月数

1

2

3

4

污染度

60

31

13

0

污染度为0后,该工厂停止整治,但污染度又起先上升,现用下列三个函数模拟从整治后第一个月起先工厂的污染模式：f(x)=20|x-4|(x≥1);g(x)=203(x-4)2

（1）试问选用哪个函数模拟比较合理,并说明理由;

（2）若以比较合理的模拟函数预料,整治后有多少个月的污染度不超过60？(注：log

答案：（1）用h(x)模拟比较合理.

理由：因为f(2)=40,g(2)≈26.7,h(

f(3)=20,g(3)≈6.7,h(3)≈12.6

由此可得h(x)更接近实际值,所以用h(x)模拟比较合理.

（2）因为h(x)=30|log2x-2|在x≥4

方法归纳

利用已知函数模型解决实际问题的方法

解决已给出函数模型的实际应用题,