2025版新教材高中数学第四章指数函数与对数函数2.2第2课时指数函数的性质及应用学案新人教A版必修.docxVIP

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第2课时指数函数的性质及应用

互动探究·关键实力

探究点一指数式大小的比较

精讲精练

例比较下列各组数的大小：

（1）1.52.5和

（2）0.6-1.2和

（3）1.70.2和

（4）a1.1与a0.3

答案：（1）1.52.5,1.5

因为底数1.5＞1，所以函数y=1.5x在

因为2.5＜3.2，所以1.52.5

（2）0.6-1.2,0.6

因为函数y=0.6x在R上是减函数，且-1.2＞-1.5，所以

（3）∵1.7

0.92.1

（4）当a＞1时，y=ax在R

当0＜a＜1时，y=ax在R上是减函数，故

解题感悟

比较指数式大小的三种类型及求解方法

迁移应用

1.（2024辽宁沈阳二中高一期中）设a=(1

A.a＜b＜cB.a＜c＜b

C.c＜b＜aD.b＜a＜c

答案：B

2.比较下列各组中两个值的大小：

（1）1.7

（2）1.7

（3）1.70.3

答案：（1）∵1.7＞1，

∴y=1.7x在

∵-2.5＞-3，

∴1.7

（2）∵1.7＞1.5，

∴在(0,+∞)上，y=1.7x的图象位于

又0.3＞0，

∴1.7

（3）∵

∴1.7

探究点二解指数型不等式

精讲精练

例（1）解不等式(

（2）已知ax2-3x+1＜a

答案：（1）∵2=(12)

∵y=(12)

∴3x-1≥-1，解得x≥0，

故原不等式的解集是{x|x≥0}.

（2）①当0＜a＜1时，函数f(x)=ax(a＞0,且a≠1)

∴

∴

解得x＜-1或x＞5;

②当a＞1时，函数f(x)=ax(a＞0,且a≠1)

∴

解得-1＜x＜5.综上，当0＜a＜1时，x＜-1或x＞5；

当a＞1时，-1＜x＜5.

解题感悟

1.利用指数函数的单调性解不等式时，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式.

2.解不等式af(x)ag(x)(a0，且a≠1）的依据是指数型函数的单调性，要先

迁移应用

1.不等式4x

答案：{

2.设0＜a＜1，则关于x的不等式a2

答案：{x|x＞2}

解析：因为0＜a＜1，

所以y=ax在

又

所以2x2-3x+7＜2

所以不等式的解集是{x|x＞2}.

探究点三指数型函数的单调性及最值

精讲精练

例（1）若函数f(x)=3(2a-1)x+3在R上是减函数，则实数

A.(-∞,12

C.(12

（2）推断f(x)=(1

答案：（1）A

解析：（1）因为底数3∈(1,+∞)，所以函数f(x)=3(2a-1)x+3的单调性与y=(2a-1)?x+3的单调性相同.因为函数f(x)=3(2a-1)x+3在R上是减函数，所以y=(2a-1)?x+3在R上是减函数，所以2a-1＜0，解得a＜1

答案：（2）令u=x2

∵u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞,1]上单调递减，在

∴y=(13)x2

∵u=

∴y=(

∴0＜(

∴当x=1时，原函数的最大值为3，无最小值.

解题感悟

1.指数型函数y=af(x)(a0且a≠1)的单调性由两点确定：一是底数；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝

2.求复合函数的单调区间时，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过f(u)和φ(x)的单调性求出y=f[φ(x)]的单调性.

迁移应用

1.（2024河北唐山一中高一期中）函数f(x)=(1

A.（-∞,-1]B.[2,+∞）

C.(-∞,12

答案：A

解析：令x2-x-2≥0，可得x≥2或

所以函数的定义域为{x|x≥2或x≤-1}.

因为函数y=x2-x-2在(-∞,-1]

所以函数y=x2-x-2在(-∞,-1]

又函数y=(12)

所以函数f(x)=(12)

评价检测·素养提升

1.（2024贵州毕节试验高级中学高一期中）设a=2

A.a＜b＜cB.b＜c＜aC.a＜c＜bD.b＜a＜c

答案：D

2.若(14)

A.(74

C.(-∞,1)D.(-∞,

答案：A

3.函数y=(1

答案：(-∞,0)

解析：因为函数y=(13)x2

且t=x2

y=(13)

所以函数y=(13)

4.若函数f(x)=1x,x

答案：{x|0≤x≤1}

解析：当x≥0时，由f(x)≥13，得(1

当x＜0时，不等式1x

综上，不等式的解集是{x|0≤x≤1}.

5.若ax+1＞(1a)

答案：因为a

所以a

当a＞1时，y=ax为增函数，则x+1＞3x-5，解得

当0＜a＜1时，y=ax为减函数，则x+1＜3x-5，解得

综上，当a＞1时，x的取值范围为(-∞,3)；当0＜a＜1时，x